логарифмические неравенства

Привет! Давай решим твои логарифмические неравенства. Помни про ОДЗ (область допустимых значений): выражение под логарифмом всегда больше нуля. Если основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется на противоположный. 1. $\log_5 x > \log_5(3x - 4)$ ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ 3x - 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow x > \frac{4}{3}$ Так как $5 > 1$, знак сохраняем: $x > 3x - 4 \Rightarrow -2x > -4 \Rightarrow x < 2$. Учитывая ОДЗ: $(\frac{4}{3}; 2)$. 2. $\log_6(2x - 1) < \log_6 x$ ОДЗ: $\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 0,5$ $2x - 1 < x \Rightarrow x < 1$. Ответ: $(0,5; 1)$. 3. $\log_2(5x - 9) \le \log_2(3x + 1)$ ОДЗ: $\begin{cases} 5x - 9 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 1,8$ $5x - 9 \le 3x + 1 \Rightarrow 2x \le 10 \Rightarrow x \le 5$. Ответ: $(1,8; 5]$. 4. $\log_4(12x + 2) \ge \log_4(10x + 16)$ ОДЗ: $\begin{cases} 12x + 2 > 0 \\ 10x + 16 > 0 \end{cases} \Rightarrow x > -0,166...$ $12x + 2 \ge 10x + 16 \Rightarrow 2x \ge 14 \Rightarrow x \ge 7$. Ответ: $[7; +\infty)$. 5. $\log_{\frac{1}{4}}(-x - 6) \le \log_{\frac{1}{4}}(6 - x^2)$ ОДЗ: $\begin{cases} -x - 6 > 0 \\ 6 - x^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow x < -6$ и $x^2 < 6 (x \in (-\sqrt{6}; \sqrt{6}))$. Пересечение: $\emptyset$. Нет решений. 6. $\log_{0,5}(x^2 - 27) > \log_{0,5} 6x$ ОДЗ: $\begin{cases} x^2 - 27 > 0 \\ 6x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > \sqrt{27} \approx 5,2$. Основание $0,5 < 1$, меняем знак: $x^2 - 27 < 6x \Rightarrow x^2 - 6x - 27 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 6x - 27 = 0$: $D = 36 - 4(1)(-27) = 144$. $x = \frac{6 \pm 12}{2} = 9$ и $-3$. $x \in (-3; 9)$. Пересечение с ОДЗ ($x > 5,2$): $(5,2; 9)$ или $(\sqrt{27}; 9)$. 7. $\log_3 x > \log_3 7 - \log_3 8 \Rightarrow \log_3 x > \log_3 \frac{7}{8} \Rightarrow x > \frac{7}{8}$. 8. $3 \log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} 9 + \log_{\frac{1}{3}} 3 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} x^3 < \log_{\frac{1}{3}} 27$. Основание $< 1$, меняем знак: $x^3 > 27 \Rightarrow x > 3$. 9. $\log_5 x - \log_5 35 \le \log_5 \frac{1}{7} \Rightarrow \log_5 \frac{x}{35} \le \log_5 \frac{1}{7}$. $\frac{x}{35} \le \frac{1}{7} \Rightarrow x \le 5$. С учетом ОДЗ ($x > 0$): $(0; 5]$. 10. $4 \log_{0,6} x \ge \log_{0,6} 8 + \log_{0,6} 2 \Rightarrow \log_{0,6} x^4 \ge \log_{0,6} 16$. Основание $< 1$, меняем знак: $x^4 \le 16 \Rightarrow x^2 \le 4 \Rightarrow x \in [-2; 2]$. С учетом ОДЗ ($x > 0$): $(0; 2]$.