Билет №5. 1.Квадрат. Свойства квадрата. Доказать, что если в ромбе диагонали равны, то ромб является квадратом.

### Решение задач Билета №5 **1. Квадрат и его свойства** * **Определение:** Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. * **Свойства:** Все углы прямые, стороны равны, диагонали равны, взаимно перпендикулярны и делят углы пополам. * **Доказательство:** Пусть дан ромб $ABCD$. По определению ромба, все его стороны равны, а диагонали взаимно перпендикулярны. Также диагонали ромба делят его углы пополам. Если диагонали ромба равны ($AC = BD$), то в каждом из образованных диагоналями прямоугольных треугольников (например, $\triangle AOB$, где $O$ — точка пересечения диагоналей) катеты $AO$ и $BO$ равны (так как диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам). Если катеты прямоугольного треугольника равны, то острые углы при основании равны $45^\circ$. Следовательно, углы ромба равны $45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$. Ромб с прямыми углами является квадратом. **2. Центральный угол** * **Определение:** Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. * **Свойство:** Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. **3. Нахождение высоты треугольника** * **Дано:** Высота $BD$ делит основание $AC$ на отрезки $AD = 7$ см и $DC = 4$ см. Площадь $S_{ABC} = 55$ см$^2$. * **Решение:** Основание треугольника $AC = AD + DC = 7 + 4 = 11$ см. Формула площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$. Подставим значения: $55 = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot BD$. Отсюда $BD = \frac{55 \cdot 2}{11} = 5 \cdot 2 = 10$ см. * **Ответ:** 10 см. **4. Углы вписанного треугольника** * **Дано:** Вписан $\triangle ABC$, $AB = AC$ (равнобедренный), основание $BC$. Дуга $BC = 102^\circ$. * **Решение:** 1. Угол $A$ — вписанный, он опирается на дугу $BC$. Его величина равна половине дуги: $\angle A = \frac{1}{2} \cdot 102^\circ = 51^\circ$. 2. Сумма углов треугольника $180^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании $B$ и $C$ равны: $\angle B = \angle C = (180^\circ - 51^\circ) / 2 = 129^\circ / 2 = 64,5^\circ$. * **Ответ:** $51^\circ, 64,5^\circ, 64,5^\circ$.