Определение средней линии треугольника. Доказать теорему о средней линии треугольника.

### 1. Средняя линия треугольника **Определение:** Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. **Теорема:** Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. **Доказательство:** Пусть в $\triangle ABC$ отрезок $MN$ — средняя линия ($M \in AB, N \in AC, AM=MB, AN=NC$). Проведем прямую $NK$, параллельную $AB$, до пересечения с прямой $BC$ в точке $K$. 1. В $\triangle AMN$ и $\triangle CKN$: $AN=NC$ (по условию), $\angle MAN = \angle KCN$ (накрест лежащие при $AB \parallel KC$), $\angle ANM = \angle CNK$ (вертикальные). Значит, $\triangle AMN = \triangle CKN$ (по стороне и двум прилежащим углам). 2. Отсюда $AM = CK$ и $MN = NK$. 3. Так как $AM = MB$, то $MB = CK$. Четырехугольник $MBCK$ является параллелограммом (так как $MB \parallel CK$ и $MB=CK$). 4. Значит, $MK \parallel BC$ и $MK=BC$. Так как $MK=2MN$, то $MN = \frac{1}{2}BC$ и $MN \parallel BC$. ### 2. Серединный перпендикуляр **Определение:** Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная ему. **Свойство:** Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. ### 3. Задача на окружность **Дано:** $AB$ и $BC$ — касательные, $O$ — центр, $r = 6$ см, $\angle ABC = 60^\circ$. 1. Радиусы $OA$ и $OC$ перпендикулярны касательным $AB$ и $BC$ соответственно. $\angle OAB = 90^\circ, \angle OCB = 90^\circ$. 2. $OB$ — биссектриса угла $ABC$, значит $\angle ABO = 30^\circ$. 3. Рассмотрим прямоугольный $\triangle OAB$ ($\angle OAB = 90^\circ$): $AB = OA \cdot \cot(30^\circ) = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см. 4. Так как $AB=BC$ (свойство отрезков касательных), то $BC = 6\sqrt{3}$ см. 5. Периметр четырехугольника $ABCO$ равен сумме всех сторон: $P = AB + BC + CO + OA = 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + 6 + 6 = 12\sqrt{3} + 12 = 12(\sqrt{3} + 1)$ см. **Ответ:** $12(\sqrt{3} + 1)$ см.