Билет №9. 1.Доказать теорему Пифагора. 2.Биссектриса угла. Свойство биссектрисы угла. 3. Стороны параллелограмма равны 6см и 7см, угол между ними 60. Найти высоты параллелограмма. 4. Площадь прямоугольной трапеции равна 120см2, а её высота равна 8см. Найти все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6см.

### 1. Теорема Пифагора Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$. *Доказательство:* Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a, b$ и гипотенузой $c$. Достроим его до квадрата со стороной $(a+b)$. Площадь этого квадрата равна $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. С другой стороны, этот квадрат состоит из четырех треугольников с площадью $\frac{1}{2}ab$ и квадрата со стороной $c$. Его площадь: $4 \cdot \frac{1}{2}ab + c^2 = 2ab + c^2$. Приравнивая выражения: $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$, откуда $a^2 + b^2 = c^2$. Что и требовалось доказать. ### 2. Биссектриса угла Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. *Свойство:* Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла. ### 3. Высоты параллелограмма Дано: стороны $a=6$ см, $b=7$ см, угол $\alpha=60^\circ$. Высоты $h_a$ и $h_b$ находятся через формулы площади или тригонометрию: 1. $h_1 = b \cdot \sin(60^\circ) = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3,5\sqrt{3} \approx 6,06$ см. 2. $h_2 = a \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5,2$ см. ### 4. Стороны прямоугольной трапеции Дано: $S=120$ см$^2$, $h=8$ см (это также меньшая боковая сторона), $a = b + 6$. 1. Формула площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. 2. $120 = \frac{b+6+b}{2} \cdot 8 \Rightarrow 120 = (2b+6) \cdot 4 \Rightarrow 30 = 2b+6 \Rightarrow 2b=24 \Rightarrow b=12$ см. 3. Тогда большее основание $a = 12+6 = 18$ см. 4. Меньшая боковая сторона равна высоте: $c = 8$ см. 5. Большую боковую сторону $d$ найдем по теореме Пифагора, опустив высоту из тупого угла: $d = \sqrt{h^2 + (a-b)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$ см. **Ответ:** 12 см, 18 см, 8 см, 10 см.