Билет №8. 1.Доказать теорему о вычислении площади трапеции.

### 1. Доказательство теоремы о площади трапеции Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$. Проведем диагональ трапеции, которая делит её на два треугольника. Высота каждого из этих треугольников равна высоте трапеции $h$. Площадь первого треугольника: $S_1 = \frac{1}{2}ah$. Площадь второго треугольника: $S_2 = \frac{1}{2}bh$. Сумма площадей этих треугольников дает площадь трапеции: $S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}bh = \frac{a+b}{2} \cdot h$. ### 2. Вписанный угол и следствия **Вписанный угол** — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. **Теорема:** Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. **Следствия:** * Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. * Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность), равен $90^\circ$ (прямой). ### 3. Задача на биссектрису Дано: $P = 40$ см, стороны $a = 15$ см, $b = 9$ см. 1. Найдем третью сторону $c$: $c = P - (a + b) = 40 - (15 + 9) = 40 - 24 = 16$ см. 2. По свойству биссектрисы, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{x}{y} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$. 3. Пусть $x = 5k$, тогда $y = 3k$. Так как $x + y = 16$, то $5k + 3k = 16 \Rightarrow 8k = 16 \Rightarrow k = 2$. 4. Отрезки: $x = 5 \cdot 2 = 10$ см, $y = 3 \cdot 2 = 6$ см. **Ответ:** 10 см и 6 см. ### 4. Задача на прямоугольник Дано: сторона $a = 5$ см, угол между диагоналями $\alpha = 60^\circ$. 1. Пусть диагонали прямоугольника пересекаются в точке $O$. Точка пересечения делит диагонали пополам. Рассмотрим треугольник, образованный стороной $a$ и частями диагоналей. Так как угол между диагоналями $60^\circ$, смежный угол равен $120^\circ$. Диагонали прямоугольника равны, поэтому треугольник со стороной $a$ и сторонами, равными половине диагонали, либо равносторонний (если угол $60^\circ$), либо равнобедренный (если угол $120^\circ$ между половинками диагоналей). 2. В прямоугольнике угол между диагоналями может быть $60^\circ$ (тогда треугольник со стороной $a$ равносторонний) или $120^\circ$. 3. Если угол $60^\circ$ против стороны $5$ см: треугольник равносторонний, значит, половина диагонали равна $5$ см, полная диагональ $d = 10$ см. 4. По теореме Пифагора для сторон $a$ и $b$: $b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ см. 5. Площадь $S = a \cdot b = 5 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3} \approx 43.3$ см$^2$. **Ответ:** $25\sqrt{3}$ см$^2$.