Билет №8. 1.Доказать теорему о вычислении площади трапеции.

Привет! Давай разберем задачи из твоих билетов. ### Билет №8 3. **Задача:** Периметр $P = 40$ см, стороны $a = 15$ см, $b = 9$ см. Третья сторона $c = 40 - 15 - 9 = 16$ см. Биссектриса делит сторону $c$ на отрезки $x$ и $y$ пропорционально сторонам $a$ и $b$. Составим пропорцию: $\frac{x}{y} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$. Тогда $x = 5k$, $y = 3k$. $5k + 3k = 16 \Rightarrow 8k = 16 \Rightarrow k = 2$. Отрезки: $5 \cdot 2 = 10$ см и $3 \cdot 2 = 6$ см. **Ответ: 10 см и 6 см.** 4. **Задача:** Пусть стороны прямоугольника $x$ и $y$. Угол между диагоналями $60^\circ$. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому треугольник, образованный диагоналями и стороной, — равносторонний. Если сторона $5$ см, то диагональ тоже $5$ см. По теореме Пифагора $y = \sqrt{5^2 - x^2}$? Нет, здесь проще: если угол $60^\circ$, стороны относятся как $1 : \sqrt{3}$ или через синус: сторона $a = d \sin(30^\circ) = 5 \cdot 0.5 = 2.5$ (меньшая) и $b = d \sin(60^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4.33$. Площадь $S = a \cdot b = 2.5 \cdot 2.5 \sqrt{3} = 6.25\sqrt{3} \approx 10.8$ см$^2$. ### Билет №9 3. **Задача:** Стороны $a = 6$, $b = 7$, угол $\alpha = 60^\circ$. Высоты $h_a = b \cdot \sin(60^\circ) = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3.5\sqrt{3} \approx 6.06$. Высота $h_b = a \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.2$. **Ответ: $3\sqrt{3}$ и $3.5\sqrt{3}$.** 4. **Задача:** $S = 120$, $h = 8$, $a_2 = a_1 + 6$. Формула площади трапеции: $S = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h$. $120 = \frac{a_1 + a_1 + 6}{2} \cdot 8 \Rightarrow 120 = (2a_1 + 6) \cdot 4 \Rightarrow 30 = 2a_1 + 6 \Rightarrow 2a_1 = 24 \Rightarrow a_1 = 12$. Значит, $a_2 = 18$. Для прямоугольной трапеции боковые стороны: одна равна высоте $8$, вторая $\sqrt{8^2 + (18-12)^2} = \sqrt{64+36} = 10$. **Ответ: 12 см, 18 см, 8 см, 10 см.** ### Билет №10 3. **Задача:** $OA = OB = 6$. Угол $ABC = 60^\circ$ между касательными, значит $\angle OAB = \angle OCB = 90^\circ$ (свойство касательной). В четырехугольнике $ABCO$ сумма углов $360^\circ$. Угол $AOC = 360 - 90 - 90 - 60 = 120^\circ$. Периметр состоит из двух касательных (они равны, найдем из $\triangle OAB$: $AB = OA / \tan(30^\circ) = 6 / (1/\sqrt{3}) = 6\sqrt{3}$) и двух радиусов. $P = 2 \cdot AB + 2 \cdot R = 2(6\sqrt{3}) + 2(6) = 12\sqrt{3} + 12 \approx 32.78$. **Ответ: $12 + 12\sqrt{3}$ см.** 4. **Задача:** $a=32$, $b=26$, угол $150^\circ$. Площадь $S = a \cdot b \cdot \sin(150^\circ)$. $\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = 0.5$. $S = 32 \cdot 26 \cdot 0.5 = 16 \cdot 26 = 416$. **Ответ: 416 см$^2$.**