Билет №5. 1.Квадрат. Свойства квадрата. Доказать, что если в ромбе диагонали равны, то ромб является квадратом.

Привет! Давай разберем задачи из твоего билета. ### 1. Квадрат и его свойства **Квадрат** — это прямоугольник, у которого все стороны равны, или ромб, у которого все углы прямые. **Свойства:** все стороны равны, все углы по $90^{\circ}$, диагонали равны, перпендикулярны и делят углы квадрата пополам. **Доказательство:** Пусть дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$, причем $AC = BD$. В ромбе диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$). Также известно, что диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Если $AC = BD$, то треугольники, образованные диагоналями, будут равнобедренными прямоугольными (по теореме Пифагора и условию равенства диагоналей). Все углы ромба становятся прямыми, следовательно, это квадрат. ### 2. Центральный угол **Центральный угол** — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности. **Свойство:** градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. ### 3. Найти высоту $BD$ Дано: $S_{ABC} = 55$ см$^2$, $AC$ делится высотой $BD$ на отрезки $AD = 7$ см и $DC = 4$ см. Сторона $AC = AD + DC = 7 + 4 = 11$ см. Формула площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$. Подставим значения: $55 = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot BD$. $55 = 5,5 \cdot BD$. $BD = 55 / 5,5 = 10$ см. **Ответ: 10 см.** ### 4. Найти углы треугольника $ABC$ Дано: $\triangle ABC$ вписан в окружность, $BC$ — основание (значит $AB = AC$), дуга $BC = 102^{\circ}$. 1. Центральный угол, опирающийся на дугу $BC$, равен $102^{\circ}$. Вписанный угол $\angle BAC$ опирается на дугу $BC$, поэтому он равен половине дуги: $\angle BAC = 102^{\circ} / 2 = 51^{\circ}$. 2. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании $BC$ равны: $\angle ABC = \angle ACB$. 3. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. $2 \cdot \angle ABC = 180^{\circ} - 51^{\circ} = 129^{\circ}$. $\angle ABC = 129^{\circ} / 2 = 64,5^{\circ}$. **Ответ: $51^{\circ}, 64,5^{\circ}, 64,5^{\circ}$.**