1.Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Доказать, что диагонали прямоугольника равны.

### Решение билета №3 **1. Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Доказательство равенства диагоналей.** * **Определение:** Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. * **Свойства:** * Противоположные стороны равны. * Диагонали равны. * Диагонали точкой пересечения делятся пополам. * **Доказательство:** Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. Они прямоугольные ($\angle BAD = \angle CDA = 90^\circ$). $AB = CD$ (как стороны прямоугольника), $AD$ — общая сторона. Значит, $\triangle ABD = \triangle DCA$ по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз: $BD = AC$. Что и требовалось доказать. **2. Определение тангенса и его значения.** * **Определение:** Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. * **Значения:** * $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ * $\tan 45^\circ = 1$ * $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ **3. Периметр равнобедренной трапеции $ABCD$.** * Пусть $AD=24$, $BC=12$. Проведем высоты $BH$ и $CK$. Тогда $HK=BC=12$. Так как трапеция равнобедренная, $AH=KD=\frac{AD-BC}{2} = \frac{24-12}{2} = 6$. * Рассмотрим $\triangle ABD$, где $\angle BDA = 90^\circ$ (так как $BD \perp AB$ — здесь, вероятно, опечатка в условии, что $BD \perp$ стороне, или имеется в виду $BD \perp CD$. Если $BD \perp AB$, то $\angle ABD = 90^\circ$). * Вернемся к стандартному условию: в $\triangle ABD$ угол $\angle BAD = 60^\circ$. Если $BD \perp CD$, то $\triangle BCD$ — прямоугольный. Однако обычно в задачах дано $BD \perp CD$. Если считать, что $\angle A = 60^\circ$ и $BD \perp CD$ (высота), то в $\triangle BDC$ угол $\angle DBC = 30^\circ$, тогда $BD = 12 \cdot \text{ctg}(30^\circ)$ — это требует уточнения условия. * Примем стандартную трактовку для таких задач: $BD \perp$ боковой стороне $CD$. Тогда $\triangle BCD$ — прямоугольный, а $\triangle ABD$ тоже. * $P = AB + BC + CD + AD = 12 + 12 + 12 + 24 = 60$. * **Ответ:** 60 см. **4. Центральный угол $AOB$ и вписанный угол.** * Пусть вписанный угол равен $x$. Тогда центральный угол $AOB = x + 30^\circ$. * По теореме о связи углов, опирающихся на одну дугу: центральный угол в два раза больше вписанного. * $2x = x + 30^\circ \Rightarrow x = 30^\circ$. * Вписанный угол = $30^\circ$, центральный угол = $30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$. * **Ответ:** Вписанный угол $30^\circ$, центральный угол $60^\circ$.