Прямоугольный лист бумаги согнули, совместив вершину с серединой противоположной короткой стороны. Оказалось, что треугольники I и II равны. Найдите длинную сторону прямоугольника, если короткая равна 8.

Пусть прямоугольник имеет стороны $a = 8$ (короткая) и $b$ (длинная). Обозначим вершины прямоугольника как $ABCD$, где $AB=CD=8$, а $AD=BC=b$. Пусть вершина $A$ совмещена с точкой $M$ — серединой стороны $CD$. Так как $M$ — середина, то $CM = MD = 4$. При сгибе образуется линия сгиба. Пусть треугольник $II$ — это треугольник с вершинами в точке $C$, точке $M$ и точке $K$ на стороне $BC$. При сгибе вершина $D$ переходит в точку $A'$. 1. Треугольник $II$ — прямоугольный, так как это угол прямоугольника ($C$). Его катеты: $CM = 4$ и $CK = x$. Гипотенуза $KM$ является частью линии сгиба. 2. Треугольник $I$ также прямоугольный. По условию, треугольники $I$ и $II$ равны. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сгибом. Пусть сторона $BC = x + y$, где $y$ — отрезок, примыкающий к углу $B$. При сгибе гипотенуза $MK$ равна отрезку $AK$. 4. В треугольнике $MCD$ катеты $MC=4, CD=8$. Гипотенуза $MD$ не здесь, рассмотрим прямоугольный треугольник, где $M$ — вершина, $C$ — вершина. Катет $MC=4$. По теореме Пифагора для треугольника $II$ (пусть $CK=x$), гипотенуза $MK = \sqrt{4^2 + x^2} = \sqrt{16+x^2}$. 5. Так как треугольники равны, катет $I$ тоже равен $x$. Длинная сторона $b = CK + KB = x + x = 2x$ (исходя из симметрии сгиба или свойств равных треугольников). 6. Используя подобие или теорему Пифагора для треугольника, образованного сгибом: гипотенуза $MK = \sqrt{16+x^2}$. В прямоугольнике сторона $BC = 8$. Если треугольники равны, то $x = 4$ (из равенства катетов и гипотенузы). 7. Проверим: если $x=4$, то длинная сторона $b = 8$. Но это квадрат. Если $x$ — это часть стороны, то при $x=4$ и $MC=4$, $MK = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$. 8. Длинная сторона $AD = 8\sqrt{2}$. Ответ: $8\sqrt{2}$