Задача 9. Вычислить тройной интеграл: $\iiint\limits_V x^2 y dx dy dz$ по области $V$, если область ограничена поверхностями $V: x^2 + y^2 + z^2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0 (x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0)$.

Для вычисления тройного интеграла $\iiint\limits_V x^2 y \, dx \, dy \, dz$ удобнее всего перейти к сферическим координатам. Область $V$ — это одна восьмая часть шара радиуса $R=2$, расположенная в первом октанте ($x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$). В сферических координатах: $x = r \sin \theta \cos \phi$ $y = r \sin \theta \sin \phi$ $z = r \cos \theta$ Якобиан перехода: $J = r^2 \sin \theta$. Пределы интегрирования: $0 \le r \le 2$ $0 \le \theta \le \pi/2$ $0 \le \phi \le \pi/2$ Подставляем в интеграл: $\iiint\limits_V x^2 y \, dx \, dy \, dz = \int_0^{\pi/2} d\phi \int_0^{\pi/2} d\theta \int_0^2 (r \sin \theta \cos \phi)^2 \cdot (r \sin \theta \sin \phi) \cdot r^2 \sin \theta \, dr$ $\int_0^2 r^5 \, dr = \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^2 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$ $\int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta \, d\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$ $\int_0^{\pi/2} \cos^2 \phi \sin \phi \, d\phi = - \left[ \frac{\cos^3 \phi}{3} \right]_0^{\pi/2} = - (0 - 1/3) = \frac{1}{3}$ Перемножаем результаты: $\frac{32}{3} \cdot \frac{3\pi}{16} \cdot \frac{1}{3} = \frac{32 \cdot 3 \cdot \pi}{3 \cdot 16 \cdot 3} = \frac{2\pi}{3}$ Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.