Привет! Давай разберем эти неравенства. Решать их будем по строкам, как в таблице. Будем приводить к общему основанию или использовать свойства функций.
### Строка II
1. $64^{-3x-1} \geq \frac{1}{8}^{2x-10}$
$(2^6)^{-3x-1} \geq (2^{-3})^{2x-10} \Rightarrow 2^{-18x-6} \geq 2^{-6x+30}$
$-18x - 6 \geq -6x + 30 \Rightarrow -12x \geq 36 \Rightarrow x \leq -3$. **Ответ: $(-\infty; -3]$**
2. $(x-4)(3-2x) > 0$
Находим нули: $x=4, x=1.5$. Парабола ветвями вниз, интервал между корнями.
**Ответ: $(1.5; 4)$**
3. $\log_{\frac{1}{2}}(4x-1) < -2$
ОДЗ: $4x-1 > 0 \Rightarrow x > 0.25$.
$4x-1 > (\frac{1}{2})^{-2} \Rightarrow 4x-1 > 4 \Rightarrow 4x > 5 \Rightarrow x > 1.25$.
**Ответ: $(1.25; +\infty)$**
### Строка III
1. $81^{-x} \geq \frac{1}{9}^{3x+2}$
$9^{-2x} \geq 9^{-(3x+2)} \Rightarrow -2x \geq -3x - 2 \Rightarrow x \geq -2$. **Ответ: $[-2; +\infty)$**
2. $(3x-6)(5-x) \geq 0$
$3(x-2)(-(x-5)) \geq 0 \Rightarrow (x-2)(x-5) \leq 0$.
**Ответ: $[2; 5]$**
3. $\log_{\frac{1}{5}}(3-2x) < -2$
ОДЗ: $3-2x > 0 \Rightarrow x < 1.5$.
$3-2x > (\frac{1}{5})^{-2} \Rightarrow 3-2x > 25 \Rightarrow -2x > 22 \Rightarrow x < -11$.
**Ответ: $(-\infty; -11)$**
### Строка IV
1. $27^x \geq \frac{1}{3}^{x+2} \Rightarrow 3^{3x} \geq 3^{-(x+2)} \Rightarrow 3x \geq -x - 2 \Rightarrow 4x \geq -2 \Rightarrow x \geq -0.5$. **Ответ: $[-0.5; +\infty)$**
2. $(6-x)(x+1) > 0 \Rightarrow (x-6)(x+1) < 0$.
**Ответ: $(-1; 6)$**
3. $\log_{2}(3x+1) < 2$
ОДЗ: $3x+1 > 0 \Rightarrow x > -1/3$.
$3x+1 < 2^2 \Rightarrow 3x < 3 \Rightarrow x < 1$.
**Ответ: $(-1/3; 1)$**
### Строка V
1. $2^{3x+6} \leq \frac{1}{32}^{x-1} \Rightarrow 2^{3x+6} \leq 2^{-5(x-1)} \Rightarrow 3x+6 \leq -5x+5 \Rightarrow 8x \leq -1 \Rightarrow x \leq -1/8$. **Ответ: $(-\infty; -0.125]$**
2. $(8-x)(2x+6) \leq 0 \Rightarrow (x-8)(x+3) \geq 0$.
**Ответ: $(-\infty; -3] \cup [8; +\infty)$**
3. $\log_{5}(3x+1) < 2$
ОДЗ: $x > -1/3$.
$3x+1 < 25 \Rightarrow 3x < 24 \Rightarrow x < 8$.
**Ответ: $(-1/3; 8)$**
### Строка VI
1. $0.1^{3+x} \leq 0.01 \Rightarrow 0.1^{3+x} \leq 0.1^2 \Rightarrow 3+x \geq 2 \Rightarrow x \geq -1$. **Ответ: $[-1; +\infty)$**
2. $(7x-14)(6+3x) \leq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \leq 0$.
**Ответ: $[-2; 2]$**
3. $\log_{3}(x-2) < 2$
ОДЗ: $x > 2$.
$x-2 < 9 \Rightarrow x < 11$.
**Ответ: $(2; 11)$**
### Строка VII
1. $0.1^{3+x} \leq 0.001 \Rightarrow 0.1^{3+x} \leq 0.1^3 \Rightarrow 3+x \geq 3 \Rightarrow x \geq 0$. **Ответ: $[0; +\infty)$**
2. $(7x-14)(1+x) \geq 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) \geq 0$.
**Ответ: $(-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$**
3. $\log_{0.3}(x-4) < 0$
ОДЗ: $x > 4$.
$x-4 > (0.3)^0 \Rightarrow x-4 > 1 \Rightarrow x > 5$.
**Ответ: $(5; +\infty)$**
### Строка VIII
1. $0.5^{x-3} \leq 0.25^{-x} \Rightarrow (0.5)^{x-3} \leq (0.5)^{2(-x)} \Rightarrow x-3 \geq -2x \Rightarrow 3x \geq 3 \Rightarrow x \geq 1$. **Ответ: $[1; +\infty)$**
2. $(x-3)(x+4) < 0$
**Ответ: $(-4; 3)$**
3. $\log_{7}(x-1) \geq 0$
ОДЗ: $x > 1$.
$x-1 \geq 7^0 \Rightarrow x-1 \geq 1 \Rightarrow x \geq 2$.
**Ответ: $[2; +\infty)$**
### Строка IX
1. $9^x - 2 \cdot 3^x < 3$
Пусть $3^x = t, t>0$. $t^2 - 2t - 3 < 0$.
Корни $t=-1, t=3$. Интервал $(0; 3)$.
$3^x < 3^1 \Rightarrow x < 1$.
**Ответ: $(-\infty; 1)$**
2. $\log_{0.2}(x-1) > \log_{0.2}4$
ОДЗ: $x > 1$.
$x-1 < 4 \Rightarrow x < 5$.
**Ответ: $(1; 5)$**
### Строка X
1. $\log_{0.5}(x^2+7x+10) < -2$
ОДЗ: $x^2+7x+10 > 0 \Rightarrow (x+2)(x+5) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$.
$x^2+7x+10 > (0.5)^{-2} \Rightarrow x^2+7x+10 > 4 \Rightarrow x^2+7x+6 > 0$.
$(x+1)(x+6) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -6) \cup (-1; +\infty)$.
Пересечение с ОДЗ: $(-\infty; -6) \cup (-1; +\infty)$.
**Ответ: $(-\infty; -6) \cup (-1; +\infty)$**
