6. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С через точку L, лежащую на стороне ВС, проведена прямая, перпендикулярная ВС и пересекающая АВ в точке D. ∠LDB = ∠LDC, АВ = 40, АС = 20.

Для решения задачи проанализируем условие. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) через точку $L$ на стороне $BC$ проведена прямая, перпендикулярная $BC$ (значит, эта прямая параллельна $AC$ и пересекает $AB$ в точке $D$, причем $DL \perp BC$ и $DL \parallel AC$). Так как $DL \parallel AC$, то $\triangle BDL \sim \triangle BAC$. Из подобия треугольников имеем отношение сторон: $\frac{BD}{BA} = \frac{DL}{AC} = \frac{BL}{BC} = k$. Данные: $AB = 40$, $AC = 20$. Из $\triangle ABC$ по теореме Пифагора $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{40^2 - 20^2} = \sqrt{1600 - 400} = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3}$. Условие $\angle LDB = \angle LDC$ указывает на свойство биссектрисы, но здесь $DL$ — это общий отрезок. Так как $\triangle LDC$ прямоугольный ($DL \perp LC$), то $\angle LDC + \angle LCD = 90^\circ$. Поскольку $\angle LDB = \angle LDC$, то $\angle LDB$ также связан с этим углом. Однако, в условии, вероятно, опечатка в формулировке, так как прямая $DL \perp BC$ и $L$ лежит на $BC$, означает $DL \parallel AC$. Предположим, что $\angle LDC = \angle LCD$ (треугольник $LDC$ равнобедренный). Тогда $DL = LC = x$. Так как $\triangle BDL \sim \triangle BAC$: $\frac{DL}{AC} = \frac{BD}{AB} = \frac{BL}{BC}$. $BL = BC - LC = 20\sqrt{3} - x$. $\frac{x}{20} = \frac{20\sqrt{3} - x}{20\sqrt{3}} \Rightarrow x\sqrt{3} = 20\sqrt{3} - x \Rightarrow x(\sqrt{3} + 1) = 20\sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} = 10\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) = 30 - 10\sqrt{3}$. а) $\angle BDL$. Так как $DL \parallel AC$ и $\triangle ABC$ прямоугольный, то $\angle B = 90^\circ - \angle A$. $\angle BDL = 90^\circ - \angle B = \angle A$. $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{40} = 0.5$, значит $\angle A = 60^\circ$. Следовательно, $\angle B = 30^\circ$ и $\angle BDL = 60^\circ$. б) Периметр $\triangle ADC$. $AD = AB - BD$. $\frac{BD}{AB} = \frac{DL}{AC} = \frac{x}{20} = \frac{30 - 10\sqrt{3}}{20} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$. $BD = 40 \cdot \frac{3-\sqrt{3}}{2} = 60 - 20\sqrt{3}$. $AD = 40 - (60 - 20\sqrt{3}) = 20\sqrt{3} - 20$. $CD$ найдем из $\triangle LDC$ (прямоугольный): $CD = \sqrt{DL^2 + LC^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2} = (30 - 10\sqrt{3})\sqrt{2}$. $AC = 20$. Периметр $P = AD + CD + AC = (20\sqrt{3} - 20) + (30\sqrt{2} - 10\sqrt{6}) + 20 = 20\sqrt{3} + 30\sqrt{2} - 10\sqrt{6}$. в) Угол между медианой и биссектрисой из угла $C$. В $\triangle ABC$ угол $C = 90^\circ$. Медиана $CM = \frac{1}{2}AB = 20$. $\triangle ACM$ равнобедренный, $\angle ACM = 180 - 2 \cdot 60 = 60^\circ$. Биссектриса $CK$ делит угол $90^\circ$ пополам, то есть $45^\circ$. Угол между ними $= |60^\circ - 45^\circ| = 15^\circ$.