Хорда AC окружности стягивает дугу, равную 60°. Хорда AB проходит через центр окружности. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 8√3.

Question

Вопрос:

Хорда AC окружности стягивает дугу, равную 60°. Хорда AB проходит через центр окружности. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 8√3.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Сделаем рисунок: Представь окружность с центром $O$. Хорда $AB$ проходит через центр, значит $AB$ — это диаметр, $AB = 2R$. Угол $\angle AOC = 60^{\circ}$ (центральный угол, опирающийся на дугу $AC$). В треугольнике $\triangle AOC$: стороны $OA = OC = R$ (радиусы), угол $60^{\circ}$ между ними, значит треугольник равносторонний. Отсюда $AC = R$. 2. Решение: Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB$ — диаметр, угол $\angle ACB = 90^{\circ}$ (опирается на диаметр). Это прямоугольный треугольник. Мы знаем, что $AC = R$, а гипотенуза $AB = 2R$. По теореме Пифагора для $\triangle ABC$ найдем катет $BC$: $BC^2 = AB^2 - AC^2 = (2R)^2 - R^2 = 4R^2 - R^2 = 3R^2$ $BC = R\sqrt{3}$ Площадь прямоугольного треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$: $8\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R\sqrt{3}$ $8\sqrt{3} = \frac{R^2\sqrt{3}}{2}$ Умножим обе части на $\frac{2}{\sqrt{3}}$: $16 = R^2$ $R = 4$ Ответ: 4.

Хорда AC окружности стягивает дугу, равную 60°. Хорда AB проходит через центр окружности. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 8√3.

Ответ ассистента

Другие решения