Хорда AC окружности стягивает дугу, равную 60°. Хорда AB проходит через центр окружности. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 8√3.

Question

Вопрос:

Хорда AC окружности стягивает дугу, равную 60°. Хорда AB проходит через центр окружности. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 8√3.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть $R$ — радиус окружности. Так как хорда $AB$ проходит через центр окружности, $AB$ является диаметром, следовательно, $AB = 2R$. Угол $\angle ABC$ — вписанный, он опирается на дугу $AC = 60^\circ$. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит $\angle ABC = 30^\circ$. Также угол $\angle ACB$ опирается на диаметр $AB$, поэтому он прямой: $\angle ACB = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABC$: 1. $AC = AB \cdot \sin(\angle ABC) = 2R \cdot \sin(30^\circ) = 2R \cdot 0,5 = R$. 2. $BC = AB \cdot \cos(\angle ABC) = 2R \cdot \cos(30^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$. Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна произведению катетов, деленному на 2: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R\sqrt{3} = \frac{R^2\sqrt{3}}{2}$. По условию, $S_{ABC} = 8\sqrt{3}$. Приравниваем: $\frac{R^2\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ $R^2 = 16$ $R = 4$. **Ответ: 4.**

Хорда AC окружности стягивает дугу, равную 60°. Хорда AB проходит через центр окружности. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 8√3.

Ответ ассистента

Другие решения