19. Тточка К не лежит в плоскости равностороннего треугольника АВС. Известно, что прямая ВК перпендикулярна плоскости АВС. Найдите косинус угла между прямыми КС и АВ, если АВ = 4√3, ВК = 3√3.

Для решения задачи воспользуемся определением угла между скрещивающимися прямыми. Нам нужно найти косинус угла между прямыми $KC$ и $AB$. 1. Проведем прямую $BD$, параллельную $AB$, так, чтобы она лежала в плоскости основания. Но так как $AB$ и так лежит в плоскости $(ABC)$, достаточно просто рассмотреть угол между $AB$ и $KC$. Угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $KC$ равен углу между прямой $KC$ и прямой, параллельной $AB$ и проходящей через точку $C$. В правильном треугольнике $ABC$ проведем прямую через точку $C$, параллельную $AB$. Однако проще воспользоваться векторным методом или методом параллельного переноса. 2. Пусть прямая $AB$ — это вектор $\vec{AB}$. Прямая $KC$ содержит вектор $\vec{KC}$. Угол $\alpha$ между прямыми определяется через косинус угла между их направляющими векторами: $\cos \alpha = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{KC}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{KC}|}$. 3. Введем систему координат с началом в точке $B(0, 0, 0)$. - Ось $z$ направим вдоль $BK$, тогда $K(0, 0, 3\sqrt{3})$. - Поскольку $\triangle ABC$ равносторонний и $AB = 4\sqrt{3}$, то $BA = 4\sqrt{3}$, $BC = 4\sqrt{3}$. - $B(0, 0, 0)$. - $A(4\sqrt{3}, 0, 0)$. - Точка $C$ лежит в плоскости $xy$. Так как $\angle ABC = 60^\circ$, координаты $C$: $(4\sqrt{3} \cdot \cos 60^\circ, 4\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ, 0) = (2\sqrt{3}, 6, 0)$. 4. Вектор $\vec{AB} = A - B = (4\sqrt{3}, 0, 0)$. Вектор $\vec{KC} = C - K = (2\sqrt{3}, 6, -3\sqrt{3})$. 5. Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{KC} = (4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}) + (0 \cdot 6) + (0 \cdot -3\sqrt{3}) = 8 \cdot 3 = 24$. 6. Длины векторов: $|\vec{AB}| = 4\sqrt{3}$. $|\vec{KC}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2 + (-3\sqrt{3})^2} = \sqrt{12 + 36 + 27} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$. 7. Косинус угла $\cos \alpha = \frac{24}{4\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3}} = \frac{24}{20 \cdot 3} = \frac{24}{60} = \frac{2}{5} = 0,4$. **Ответ: 0,4**