1. По данному боковому ребру b и апофеме h. найти сторону основания и высоту правильной треугольной пирамиды.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. ### Задача 1 **Дано:** правильная треугольная пирамида. Боковое ребро $b$, апофема $h$ (высота боковой грани). **Найти:** сторону основания $a$ и высоту пирамиды $H$. **Решение:** 1. Пусть $a$ — сторона основания (правильного треугольника). Радиус описанной окружности около основания $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, а радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. 2. Апофема $h$ — это высота боковой грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $h$, высотой $H$ пирамиды и радиусом вписанной окружности $r$. По теореме Пифагора: $h^2 = H^2 + r^2 \Rightarrow H = \sqrt{h^2 - r^2} = \sqrt{h^2 - (\frac{a}{2\sqrt{3}})^2} = \sqrt{h^2 - \frac{a^2}{12}}$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $b$, высотой $H$ пирамиды и радиусом описанной окружности $R$. По теореме Пифагора: $b^2 = H^2 + R^2$. 4. Подставим выражение для $H^2 = h^2 - r^2$: $b^2 = (h^2 - r^2) + R^2$. 5. Так как $R = 2r$, то $R^2 = 4r^2$: $b^2 = h^2 - r^2 + 4r^2 = h^2 + 3r^2$. $3r^2 = b^2 - h^2 \Rightarrow r^2 = \frac{b^2 - h^2}{3} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{b^2 - h^2}{3}}$. 6. Сторона основания $a = 2\sqrt{3} \cdot r = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{b^2 - h^2}{3}} = 2\sqrt{b^2 - h^2}$. 7. Теперь найдем высоту $H$: $H = \sqrt{h^2 - r^2} = \sqrt{h^2 - \frac{b^2 - h^2}{3}} = \sqrt{\frac{3h^2 - b^2 + h^2}{3}} = \sqrt{\frac{4h^2 - b^2}{3}} = \frac{\sqrt{3(4h^2 - b^2)}}{3}$. **Ответ:** $a = 2\sqrt{b^2 - h^2}$, $H = \sqrt{\frac{4h^2 - b^2}{3}}$. ### Задача 2 **Дано:** прямой параллелепипед. Боковое ребро $c = 10$ см. Стороны основания $a = 23$ см, $b = 11$ см. Отношение диагоналей основания $d_1 : d_2 = 2 : 3$. **Найти:** площади диагональных сечений $S_1, S_2$. **Решение:** 1. Пусть диагонали основания равны $2x$ и $3x$. По теореме косинусов для треугольников, на которые диагонали делят основание, и свойству параллелограмма ($d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$): $(2x)^2 + (3x)^2 = 2(23^2 + 11^2)$. $4x^2 + 9x^2 = 2(529 + 121)$. $13x^2 = 2(650) = 1300$. $x^2 = 100 \Rightarrow x = 10$. 2. Значит, диагонали основания $d_1 = 20$ см и $d_2 = 30$ см. 3. Площади диагональных сечений $S_1 = d_1 \cdot c$ и $S_2 = d_2 \cdot c$ (так как параллелепипед прямой, сечения — прямоугольники). $S_1 = 20 \cdot 10 = 200$ см$^2$. $S_2 = 30 \cdot 10 = 300$ см$^2$. **Ответ:** 200 см$^2$ и 300 см$^2$.