18. а) Решите уравнение 8 sin^2 x - 2 sqrt(3) cos(pi/2 - x) - 9 = 0.

### Решение уравнения 18: **а) Решите уравнение:** $8 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \cos(\frac{\pi}{2} - x) - 9 = 0$ 1. Используем формулу приведения: $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$. 2. Уравнение принимает вид: $8 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x - 9 = 0$. 3. Сделаем замену $t = \sin x$, где $t \in [-1; 1]$. Получим уравнение: $8t^2 - 2\sqrt{3}t - 9 = 0$. 4. Найдем дискриминант: $D = (-2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 12 + 288 = 300 = (10\sqrt{3})^2$. 5. Корни уравнения: $t_1 = \frac{2\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{16} = \frac{12\sqrt{3}}{16} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1.299$ (не удовлетворяет условию $|t| \le 1$) $t_2 = \frac{2\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{16} = \frac{-8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ 6. Решим уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $x = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это можно записать как две серии корней: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ или $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. **б) Найдите все корни уравнения на отрезке $[-\frac{5\pi}{2}; -\pi]$:** 1. Проверим корни: При $n = 0$: $x = -\frac{\pi}{3} > -\pi$ (вне отрезка), $x = -\frac{2\pi}{3} > -\pi$ (вне отрезка). При $n = -1$: $x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} \approx -2.33\pi$. Это число больше $-2.5\pi$ и меньше $-\pi$. Подходит. $x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3} \approx -2.66\pi$. Это число меньше $-2.5\pi$. Не подходит. **Ответ:** а) $(-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi}{3}$. ### Решение уравнения 19: **а) Решите уравнение:** $\sin(\frac{7\pi}{2} + x) + 2 \cos 2x = 1$ 1. Используем формулу приведения: $\sin(\frac{7\pi}{2} + x) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi + x) = \sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos x$. 2. Используем формулу двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. 3. Уравнение принимает вид: $-\cos x + 2(2\cos^2 x - 1) = 1$. 4. Раскроем скобки: $-\cos x + 4\cos^2 x - 2 = 1 \Rightarrow 4\cos^2 x - \cos x - 3 = 0$. 5. Замена $t = \cos x$, $t \in [-1; 1]$: $4t^2 - t - 3 = 0$. 6. Корни квадратного уравнения (по теореме Виета или через дискриминант $D = 1 - 4(4)(-3) = 49 = 7^2$): $t_1 = 1, t_2 = -\frac{3}{4}$. 7. Решаем уравнения: а) $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. б) $\cos x = -\frac{3}{4} \Rightarrow x = \pm \arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi n = \pm (\pi - \arccos(\frac{3}{4})) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $2\pi k; \pm (\pi - \arccos \frac{3}{4}) + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.