Билет 7. 1. Аксиома параллельных. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. 2. Определение треугольника. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. 3. Найдите углы треугольника, на которые высота разбивает равносторонний треугольник.

### Билет 7: Решение **1. Аксиома параллельных и теоремы об углах** - **Аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида):** Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. - **Теоремы об углах при параллельных прямых и секущей:** - Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. - Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. - Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна $180^\circ$. *Пример доказательства (о равенстве накрест лежащих углов):* Допустим, прямые $a$ и $b$ параллельны, а $c$ — секущая. Если накрест лежащие углы не равны, то через точку пересечения секущей с прямой $a$ можно провести другую прямую под углом, равным углу при прямой $b$. По признаку параллельности это противоречит аксиоме параллельных, так как прямые совпадут. Значит, углы равны. **2. Определение треугольника и построение** - **Определение:** Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (сторон), соединяющих эти точки. - **Построение по двум сторонам и углу между ними (алгоритм):** 1. С помощью транспортира отложите заданный угол. 2. С помощью циркуля или линейки отложите на сторонах этого угла отрезки, равные заданным сторонам. 3. Соедините концы отрезков прямой линией. Полученный треугольник искомый. **3. Углы треугольника, на которые высота делит равносторонний треугольник** В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Высота в равностороннем треугольнике также является биссектрисой и медианой. - Высота делит угол при вершине (где она проведена) пополам: $60^\circ / 2 = 30^\circ$. - Угол при основании остается равным $60^\circ$. - Угол между высотой и основанием равен $90^\circ$ (так как это высота). **Ответ:** Углы полученных прямоугольных треугольников равны $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.