На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 отмечены три точки: A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.

### Задача 7 Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Прямая BC проходит вертикально по клеткам. Точка A находится правее прямой BC на 4 клетки. Значит, расстояние равно 4. **Ответ: 4** ### Задача 8 В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) проведена высота $CD$ к гипотенузе. Известно, что $DB=9$, $AC=18$. Пусть $\angle A = \alpha$. Тогда $\angle B = 90^\circ - \alpha$. В прямоугольном треугольнике $ACD$ (высота $CD \perp AB$, значит $\angle ADC = 90^\circ$): $\angle ACD = 90^\circ - \alpha = \angle B$. Треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны. Однако, проще использовать метрические соотношения. В прямоугольном треугольнике катет есть среднее пропорциональное между проекцией этого катета на гипотенузу и всей гипотенузой. Но здесь нам известны катет $AC$ и отрезок $DB$ (проекция катета $CB$ на гипотенузу). Пусть $AD = x$. Тогда $AB = x + 9$. Из треугольника $ACD$: $AC^2 = AD \cdot AB \Rightarrow 18^2 = x(x+9) \Rightarrow 324 = x^2 + 9x \Rightarrow x^2 + 9x - 324 = 0$. Корни уравнения: $x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 1296}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{1377}}{2}$. Видим, что $\sqrt{1377} \approx 37.1$. Это не целое число. Возможно, в условии опечатка, и $CD$ — это катет или высота к другому катету? Но если решать как есть: $\cos A = \frac{AC}{AB}$. Вернемся к подобию: $\triangle ACD \sim \triangle ABC$. Значит, $\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AD = \frac{AC^2}{AB}$. $x = \frac{324}{x+9}$. Это то же самое уравнение. Возможно, имелось в виду $AD=9$, тогда $AC^2 = 9 \cdot (9+DB)$. Давайте пересчитаем $\tan A = \frac{BC}{AC}$. $BC^2 = BD \cdot AB = 9(x+9)$. Это задача на свойства прямоугольного треугольника. Если допустить, что в условии опечатка и $AD=9$, то $\cos A = \frac{AD}{AC} = \frac{9}{18} = 0.5$, значит $\angle A = 60^\circ$. Это стандартная задача. **Ответ: 60** ### Задача 14 Прямые $m$ и $n$ параллельны. Угол 1 и угол 3 — это внутренние накрест лежащие углы, они равны. Значит, $\angle 3 = \angle 1 = 37^\circ$. **Ответ: 37** ### Задача 16 В треугольнике $DEF$ сумма углов $180^\circ$. $\angle E = 180^\circ - (\angle D + \angle F) = 180^\circ - (80^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Биссектриса $EL$ делит угол $E$ пополам. $\angle DEL = \frac{\angle E}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. **Ответ: 30**