1. На рисунке 271 точка O — центр окружности, ∠AOC = 50°. Найдите угол BCO.

### 1. Задача На рисунке 271 точка $O$ — центр окружности, $\angle AOC = 50^\circ$. Найдите угол $BCO$. **Решение:** 1. Треугольник $\triangle AOC$ равнобедренный, так как $OA = OC$ (радиусы). 2. Тогда углы при основании $\angle OAC = \angle OCA = (180^\circ - 50^\circ) / 2 = 65^\circ$. 3. Аналогично, треугольник $\triangle COB$ равнобедренный, так как $OC = OB$ (радиусы). Однако нам неизвестен угол $\angle COB$. 4. В условии предполагается, что $AB$ — диаметр (исходя из рисунка 271, где $A, O, B$ лежат на одной прямой). Тогда $\angle COB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. 5. В равнобедренном $\triangle COB$: $\angle OCB = \angle OBC = (180^\circ - 130^\circ) / 2 = 25^\circ$. **Ответ: 25^\circ.** ### 2. Задача К окружности с центром $O$ провели касательную $AB$ ($B$ — точка касания). Найдите радиус окружности, если $AB = 8$ см и $\angle AOB = 45^\circ$. **Решение:** 1. Радиус $OB$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной $AB$ (свойство касательной). Значит, $\triangle ABO$ — прямоугольный, $\angle ABO = 90^\circ$. 2. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABO$: $\tan(\angle AOB) = AB / OB$. 3. $OB = AB / \tan(45^\circ) = 8 / 1 = 8$ см. **Ответ: 8 см.** ### 3. Задача Через концы диаметра $AB$ окружности с центром $O$ проведены параллельные хорды $BC$ и $AD$ (рис. 272). Докажите, что $AD = BC$. **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle OBC$ и $\triangle OAD$. В них $OB = OA$ (радиусы) и $OC = OD$ (радиусы). 2. Так как $BC \parallel AD$, то накрест лежащие углы при секущей $AB$ равны: $\angle CBA = \angle BAD$. Также $\angle BCO = \angle ADO$ как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CD$. 3. Углы $\angle COB$ и $\angle DOA$ вертикальные, они равны. 4. Треугольники $\triangle OBC$ и $\triangle OAD$ равны по стороне и двум прилежащим углам (или по двум сторонам и углу между ними, так как $OB=OA, OC=OD$ и $\angle COB = \angle DOA$). 5. Из равенства треугольников следует, что хорды $BC = AD$. Что и требовалось доказать.