4. Дана прямоугольная трапеция АВСD ($∠A = 90^°$), в которую вписана окружность радиусом 12 см. Сторона CD равна 38 см. Найди среднюю линию трапеции.

### Решение задачи 4 Дано: - Прямоугольная трапеция $ABCD$ ($\angle A = 90^\circ$); - Радиус вписанной окружности $r = 12$ см; - Сторона $CD = 38$ см. Решение: 1. Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции: $h = 2r = 2 \times 12 = 24$ см. В прямоугольной трапеции боковая сторона $AB$, перпендикулярная основаниям, является высотой. Значит, $AB = 24$ см. 2. Свойство вписанной окружности в выпуклый четырехугольник: суммы противоположных сторон равны. Значит, $AB + CD = BC + AD = 24 + 38 = 62$ см. 3. Средняя линия трапеции $m = \frac{BC + AD}{2}$. 4. $m = \frac{62}{2} = 31$ см. **Ответ: 31 см.** ### Решение задачи 5 Дано: - $AB$ — касательная; - $AO$ — секущая, проходящая через центр $O$ (отрезок $AO$ является отрезком от точки $A$ до центра $O$); - $AB = 12$ см; - $AO = 13$ см. Решение: 1. Радиус окружности $OB$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной $AB$ ($\angle OBA = 90^\circ$). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OBA$: - $AO$ — гипотенуза ($13$ см); - $AB$ — катет ($12$ см); - $OB$ — радиус $R$, катет, который нужно найти. 3. По теореме Пифагора: $OB^2 + AB^2 = AO^2$. 4. $OB^2 + 12^2 = 13^2$. 5. $OB^2 + 144 = 169$. 6. $OB^2 = 169 - 144 = 25$. 7. $OB = \sqrt{25} = 5$ см. **Ответ: 5 см.**