№ 1. Даны окружность с центром О радиуса 5 см и точка М. Через точку М проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОМ = 10 см.

### Решение № 1 Пусть $A$ и $B$ — точки касания двух касательных, проведенных из точки $M$ к окружности с центром $O$ и радиусом $R = 5$ см. Тогда $OA \perp AM$ и $OB \perp BM$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OAM$: - гипотенуза $OM = 10$ см; - катет $OA = R = 5$ см. Так как катет в 2 раза меньше гипотенузы ($OA = \frac{1}{2} OM$), то угол $\angle AMO = 30^\circ$. Угол между касательными $\angle AMB = 2 \cdot \angle AMO = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. **Ответ: 60°** ### Решение № 2 Проведем радиус $OL$ в точку касания. Так как прямая $LM$ касается окружности, $OL \perp LM$, то есть $\angle OLM = 90^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle KOL$ (стороны $OK = OL = R$). Сумма углов треугольника $180^\circ$, значит углы при основании равны: $\angle OKL = \angle OLK = (180^\circ - 160^\circ) / 2 = 10^\circ$. Так как $\angle OLM = 90^\circ$, искомый угол $\angle KLM = \angle OLM - \angle OLK = 90^\circ - 10^\circ = 80^\circ$. **Ответ: 80°** ### Решение задачи с рисунком Дано: $KN \parallel ME$, $\angle KPN = 68^\circ$, $\angle NKP = 25^\circ$. 1. Рассмотрим $\triangle KPN$. Сумма углов треугольника $180^\circ$. $\angle KNP = 180^\circ - (68^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 93^\circ = 87^\circ$. 2. Так как $KN \parallel ME$, то $\angle KNP$ и $\angle EMN$ — это накрест лежащие углы при секущей $NM$. Следовательно, $\angle EMN = \angle KNP = 87^\circ$. **Ответ: 87°**