g) f(x) = x^3 - 3x^2 + 4

Для исследования функции $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$, найдем её основные характеристики. 1. **Нахождение производной и критических точек:** $f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 4)' = 3x^2 - 6x$ Приравняем производную к нулю: $3x^2 - 6x = 0$ $3x(x - 2) = 0$ Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. 2. **Экстремумы:** - При $x = 0$: $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4$. Точка $(0; 4)$ — локальный максимум. - При $x = 2$: $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$. Точка $(2; 0)$ — локальный минимум. 3. **Корни функции (нули):** Решим уравнение $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$. Заметим, что $x=2$ является корнем (так как $f(2)=0$). Разделим многочлен на $(x-2)$: $(x^3 - 3x^2 + 4) = (x-2)(x^2 - x - 2) = (x-2)(x-2)(x+1) = (x-2)^2(x+1)$. Значит, корни уравнения: $x = 2$ (кратности 2) и $x = -1$. График функции пересекает ось $OX$ в точке $(-1; 0)$ и касается её в точке $(2; 0)$.