Найдите производную функции: 1) 2x^3 - 1/x^2; 2) (4 - 3x)^7; 3) e^x sin x; 4) (2-x)/ln x.

Привет! Давай разберем эти задания на производные. ### Задание 1. Найдите производную функции: 1) $y = 2x^3 - \frac{1}{x^2} = 2x^3 - x^{-2}$. $y' = 2 \cdot 3x^2 - (-2)x^{-3} = 6x^2 + \frac{2}{x^3}$. 2) $y = (4 - 3x)^7$. По правилу производной сложной функции: $y' = 7(4 - 3x)^6 \cdot (4 - 3x)' = 7(4 - 3x)^6 \cdot (-3) = -21(4 - 3x)^6$. 3) $y = e^x \sin x$. Используем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. $y' = (e^x)' \sin x + e^x (\sin x)' = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$. 4) $y = \frac{2-x}{\ln x}$. Используем правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. $y' = \frac{(2-x)' \ln x - (2-x)(\ln x)'}{(\ln x)^2} = \frac{-1 \cdot \ln x - (2-x) \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{-\ln x - \frac{2}{x} + 1}{(\ln x)^2} = \frac{-x \ln x - 2 + x}{x(\ln x)^2}$. ### Задание 2. Найдите значение производной функции $f(x) = 2 - \frac{1}{\sqrt{x}}$ в точке $x_0 = \frac{1}{4}$. $f(x) = 2 - x^{-1/2}$. $f'(x) = -(-\frac{1}{2})x^{-3/2} = \frac{1}{2x\sqrt{x}}$. $f'(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{1/4} = 4$. ### Задание 3. Запишите уравнение касательной к графику функции $f(x) = 4x - \sin x + 1$ в точке $x_0 = 0$. Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. $f(0) = 4(0) - \sin(0) + 1 = 1$. $f'(x) = 4 - \cos x$. $f'(0) = 4 - \cos(0) = 4 - 1 = 3$. Подставляем: $y = 1 + 3(x - 0) = 3x + 1$. ### Задание 4. Найдите значения $x$, при которых значения производной функции $f(x) = \frac{1-x}{x^2+8}$ отрицательны. $f'(x) = \frac{-1(x^2+8) - (1-x)(2x)}{(x^2+8)^2} = \frac{-x^2 - 8 - 2x + 2x^2}{(x^2+8)^2} = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2+8)^2}$. Нужно решить неравенство: $\frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2+8)^2} < 0$. Знаменатель всегда положителен при любых $x$, поэтому знак зависит только от числителя: $x^2 - 2x - 8 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 4, x_2 = -2$. Парабола направлена вверх, значит, меньше нуля между корнями: $x \in (-2; 4)$. ### Задание 5. Найдите точки графика функции $f(x) = x^3 + 3x^2$, в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс. Касательная параллельна оси $Ox$, если $f'(x) = 0$. $f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$. $3x(x + 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = -2$. Находим координаты точек: $f(0) = 0^3 + 3(0)^2 = 0$. Точка $(0; 0)$. $f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4$. Точка $(-2; 4)$. Ответ: $(0; 0)$ и $(-2; 4)$.