1) Один из вертикальных углов равен 50°. Чему равен другой угол?

1 часть: 1) Правильный ответ: **Б. 50°**. Вертикальные углы равны. 2) Правильное утверждение: **А**. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 3) Сумма углов треугольника равна 180°. Третий угол = 180° - (116° + 34°) = 180° - 150° = 30°. Правильный ответ: **Г. 30°**. 4) Равнобедренный треугольник имеет два равных угла при основании. На рисунке это треугольник под номером **1** (углы 71° и 71°). 5) В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) медиана BD к основанию AC является также высотой и биссектрисой. Значит, BD перпендикулярна AC, AD=DC=AC/2=10/2=5 см. Треугольник BDC — прямоугольный (угол BDC=90°). По теореме Пифагора: BC^2 = BD^2 + DC^2. BD = sqrt(BC^2 - DC^2) = sqrt(8^2 - 5^2) = sqrt(64 - 25) = sqrt(39). Периметр = BD + DC + BC = sqrt(39) + 5 + 8 = 13 + sqrt(39) ≈ 13 + 6.24 = 19.24. В предложенных вариантах ответа нет, скорее всего, опечатка в условии задачи, правильный расчет дает результат, отличный от А, Б, В. 2 часть: 1) Точка K — середина AB и CD. Значит, AK=KB, CK=KD. Рассмотрим треугольники AKC и BKD: они равны по двум сторонам и углу между ними (вертикальные углы AKC и BKD равны, так как K — вершина). Из равенства треугольников следует, что углы KAC и KBD равны. Эти углы являются накрест лежащими при прямых AC, DB и секущей AB. Так как накрест лежащие углы равны, то AC || DB. 2) Дано: PT || AD, PK - биссектриса угла CPT. Треугольник ADP и угол CPT (имеется в виду угол, образованный секущей). Исходя из рисунка: так как PT || AD, то накрест лежащие углы равны: ∠APT = ∠PTD. Также угол ∠DAP = 40°. Так как PT || AD, то ∠DAP и ∠APT — накрест лежащие? Нет, здесь AD и PT параллельны. Угол APT = углу PAD = 40°. Так как PK — биссектриса угла CPT, то угол CPT = 180° - 40° = 140°. Значит, угол KPT = 140° / 2 = 70°. 3) Доказательство: Пусть треугольник ABC, CD — внешняя биссектриса угла C, CD || AB. Так как CD || AB, то угол ACD равен углу CAB (накрест лежащие), а угол BCD равен углу CBA (соответственные). Так как CD — биссектриса, то угол ACD = углу BCD. Следовательно, угол CAB = угол CBA. Если углы при основании равны, треугольник равнобедренный.