Question

Упростите выражение (sqrt(3)sin a + 2cos(60 + a)) / (2sin(60 + a) - sqrt(3)cos a)

Accepted Answer

Для упрощения выражения воспользуемся формулами синуса и косинуса суммы: $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ и $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

1. Раскроем косинус суммы в числителе:
$2\cos(60^\circ + \alpha) = 2(\cos 60^\circ \cos\alpha - \sin 60^\circ \sin\alpha) = 2(\frac{1}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha) = \cos\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha$.

2. Раскроем синус суммы в знаменателе:
$2\sin(60^\circ + \alpha) = 2(\sin 60^\circ \cos\alpha + \cos 60^\circ \sin\alpha) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha + \frac{1}{2} \sin\alpha) = \sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha$.

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{\sqrt{3}\sin\alpha + (\cos\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha)}{(\sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha} = \frac{\sqrt{3}\sin\alpha + \cos\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha}{\sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 	ext{ctg}\alpha$.

Ответ: а) ctgα.

Упростите выражение (sqrt(3)sin a + 2cos(60 + a)) / (2sin(60 + a) - sqrt(3)cos a)

Ответ ассистента

Другие решения