Решите неравенство: (x-5)(2x+7)/(4-x) >= 0.

1. $\frac{(x-5)(2x+7)}{4-x} \geq 0$. Метод интервалов. Корни: $x=5, x=-3.5, x=4$. Точки: $-3.5$ (закрашенная), $4$ (выколотая), $5$ (закрашенная). Знаки на интервалах: $(-\infty, -3.5] \cup (4, 5]$. 2. $0.5 < 2^{1-x} \leq 32 \Rightarrow 2^{-1} < 2^{1-x} \leq 2^5 \Rightarrow -1 < 1-x \leq 5$. Решаем: $-2 < -x \leq 4 \Rightarrow -4 \leq x < 2$. Целые решения: $-4, -3, -2, -1, 0, 1$. 3. $\cos^2 x = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$. Т.к. $0 < x < \frac{\pi}{2}$ (первая четверть), $\cos x > 0$, значит $\cos x = \frac{5}{13}$. 4. Построение графика: - Точки на осях: $(-4, y_1), (4, y_2), (-2, 0), (2, 0)$. - Минимумы/Максимумы: $y$ от $-3$ до $5$. - Убывает: $[-4, -1]$ и $[2, 4]$. Возрастает: $[-1, 2]$. 5. $F(x) = \int (4x - x^2) dx = 2x^2 - \frac{x^3}{3} + C$. 6. $x^2 - 4x + 4 = 2^4 = 16 \Rightarrow x^2 - 4x - 12 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 6, x_2 = -2$. Проверка: оба подходят (аргумент логарифма $16 > 0$). 7. $y' = -3x^2 - 6x + 9$. $y' = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = -3, x = 1$. На отрезке $[-2; 2]$ лежит только $x=1$. $y(-2) = -(-8) - 3(4) - 18 - 2 = 8 - 12 - 18 - 2 = -24$. $y(1) = -1 - 3 + 9 - 2 = 3$. $y(2) = -8 - 12 + 18 - 2 = -4$. Наибольшее: $3$, наименьшее: $-24$. 8. $x^2 - 2x - 4 = 2x^2 - 6x - 1 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x = 1, x = 3$. Проверка: при $x=1$ под корнем $-5$ (не подходит). При $x=3$: $\sqrt{9-6-4} = \sqrt{-1}$ (не подходит). Решений нет. 9. Ромб: диагонали $d_1=6, d_2=8$. Сторона основания $a = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. Высота $H$ из центра ромба к вершине. Боковое ребро $l=5$. Расстояние от центра ромба до вершины основания $R = 5$ (радиус описанной окружности или половина диагонали? Нет, здесь $R=5$ - это расстояние от центра до вершины ромба, если ребро 5). Так как $l=5$ и $R=5$ (расстояние от центра до вершины), $H=0$, это вырожденная пирамида (плоская фигура). 10. Квадратное сечение, диагональ $8\sqrt{2}$. Сторона квадрата $d = 8\sqrt{2} / \sqrt{2} = 8$. Значит, высота $H=8$, диаметр $2r=8 \Rightarrow r=4$. $V = \pi r^2 H = \pi \cdot 16 \cdot 8 = 128\pi$.