Контрольная работа (промежуточная аттестация) по геометрии

### Решение контрольной работы **1. В равнобедренном треугольнике** Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть углы при основании равны $56^{\circ}$. Тогда третий угол (при вершине) равен: $180^{\circ} - (56^{\circ} + 56^{\circ}) = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$. **Ответ:** $56^{\circ}, 68^{\circ}$. **2. В равнобедренном треугольнике ABC** Угол при вершине A и внешний угол смежны. Угол при вершине $A = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$. Так как треугольник равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle A = \angle C = 68^{\circ}$. Тогда угол $ABC = 180^{\circ} - (68^{\circ} + 68^{\circ}) = 180^{\circ} - 136^{\circ} = 44^{\circ}$. **Ответ:** $44^{\circ}$. **3. Нахождение угла 3** Задача требует использования свойств углов при пересечении прямых секущей (сумма углов в четырехугольнике $360^{\circ}$ или свойства параллельности, если они подразумевались, но здесь прямые не параллельны). Исходя из геометрии углов на чертеже: углы 1, 2, 4 и искомый угол 3 образуют углы при пересечении прямых. Однако, здесь недостаточно данных о параллельности прямых для стандартного решения через секущую. Если предположить, что 1, 2, 3, 4 — внутренние углы четырехугольника, образованного пересечением, то сумма углов четырехугольника $360^{\circ}$. Тогда $\angle 3 = 360^{\circ} - (123^{\circ} + 57^{\circ} + 146^{\circ}) = 360^{\circ} - 326^{\circ} = 34^{\circ}$. **Ответ:** $34^{\circ}$. **4. Вписанный и центральный углы** Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Угол $= 48^{\circ} / 2 = 24^{\circ}$. **Ответ:** $24^{\circ}$. **5. Верные утверждения** 1) Верно. Вертикальные углы равны. 2) Верно. В остроугольном треугольнике все три угла острые (меньше $90^{\circ}$). 3) Неверно. Сумма двух меньших сторон ($1+2=3$) должна быть больше третьей стороны ($3$). $3 \ngtr 3$, треугольник не существует. 4) Неверно. Углы при основании в равнобедренном треугольнике всегда острые (если бы они были тупыми, сумма углов была бы $> 180^{\circ}$). 5) Верно. Это свойство треугольника. **Ответ:** 1, 2, 5. **6. Треугольник BCD** В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 70^{\circ}$, значит $\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$. $CD$ — биссектриса, значит она делит $\angle C$ на две равные части: $\angle BCD = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ}$. В $\triangle BCD$: $\angle B = 20^{\circ}$, $\angle BCD = 45^{\circ}$, тогда $\angle BDC = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$. **Ответ:** $20^{\circ}, 45^{\circ}, 115^{\circ}$.