№2. Высоты равнобедренного треугольника, проведённые из вершин при основании, при пересечении образуют угол 140°. Найти угол, противолежащий основанию треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = BC$. Высоты, проведенные к боковым сторонам $AB$ и $BC$ из вершин при основании (обозначим их $AE$ и $CD$), пересекаются в точке $O$. 1. Рассмотрим четырехугольник $BDOE$. Так как $AE \perp BC$ и $CD \perp AB$, то $\angle OEB = 90^{\circ}$ и $\angle ODB = 90^{\circ}$. 2. Сумма углов четырехугольника равна $360^{\circ}$. Угол $\angle DOE$ — это угол между высотами, он равен $140^{\circ}$ (по условию это тупой угол пересечения). 3. Так как $\angle DOE$ и $\angle BOD$ — вертикальные (или смежные, если рассматривать угол пересечения), уточним: при пересечении высот образуются две пары смежных углов. Острый и тупой. Если угол между высотами $140^{\circ}$, значит, $\angle BOD = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$. 4. В четырехугольнике $BDOE$ сумма углов $\angle B + \angle OEB + \angle DOE + \angle ODB = 360^{\circ}$. 5. Подставим известные значения: $\angle B + 90^{\circ} + 140^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$. 6. $\angle B + 320^{\circ} = 360^{\circ}$. 7. $\angle B = 360^{\circ} - 320^{\circ} = 40^{\circ}$. **Ответ:** угол при вершине треугольника равен $40^{\circ}$.