22. Постройте график функции y = (x^2 + 7x + 12)(x^2 - x - 2) / (x^2 + 5x + 4). Определите, при каких значениях a прямая y=a имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для решения задачи упростим функцию, разложив числитель и знаменатель на множители. 1. Разложим числитель: - $x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4)$ - $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ 2. Разложим знаменатель: - $x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4)$ 3. Подставим разложения в исходное выражение: $y = \frac{(x+3)(x+4)(x-2)(x+1)}{(x+1)(x+4)}$ 4. Сократим дробь, учитывая область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю. - $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$ - $x+4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$ После сокращения получаем: $y = (x+3)(x-2) = x^2 + x - 6$, при условии $x \neq -1$ и $x \neq -4$. 5. Найдем значения функции в «выколотых» точках: - Если $x = -1$, то $y = (-1+3)(-1-2) = 2 \cdot (-3) = -6$. Точка $(-1; -6)$ выколота. - Если $x = -4$, то $y = (-4+3)(-4-2) = (-1) \cdot (-6) = 6$. Точка $(-4; 6)$ выколота. График функции — это парабола $y = x^2 + x - 6$ с двумя выколотыми точками $(-1; -6)$ и $(-4; 6)$. Вершина параболы: $x_0 = -b/2a = -1/2 = -0{,}5$. $y_0 = (-0{,}5)^2 - 0{,}5 - 6 = 0{,}25 - 6{,}5 = -6{,}25$. Прямая $y=a$ имеет ровно одну общую точку с графиком, если: - Она проходит через вершину параболы: $a = -6{,}25$. - Она проходит через одну из выколотых точек (так как во второй точке «дырка», а не значение): - $a = -6$ (проходит через выколотую точку при $x = -1$, значит, в этой точке график не пересекается, но пересекается в другой точке параболы). - $a = 6$ (проходит через выколотую точку при $x = -4$, значит, в этой точке график не пересекается, но пересекается в другой точке параболы). Ответ: $a = -6{,}25; -6; 6$.