В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно a. Найдите расстояние от вершины B до плоскости AB1C

### Задача №16 В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$. Нужно найти расстояние от точки $B$ до плоскости $(AB_1C)$. 1. Введем систему координат с началом в точке $A(0;0;0)$. Тогда координаты вершин: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $B_1(a;0;a)$, $C(a;a;0)$. 2. Уравнение плоскости, проходящей через $A, B_1, C$: Векторы в плоскости: $\vec{AB_1} = (a; 0; a)$, $\vec{AC} = (a; a; 0)$. Нормальный вектор $\vec{n} = [\vec{AB_1}, \vec{AC}] = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a & 0 & a \\ a & a & 0 \end{vmatrix} = (-a^2)i - (-a^2)j + (a^2)k = (-a^2; a^2; a^2)$. Для простоты возьмем коллинеарный вектор $\vec{n'} = (-1; 1; 1)$. Уравнение плоскости: $-1(x-0) + 1(y-0) + 1(z-0) = 0 \Rightarrow -x + y + z = 0$ или $x - y - z = 0$. 3. Расстояние от точки $B(a; 0; 0)$ до плоскости $x - y - z = 0$ по формуле: $d = \frac{|a - 0 - 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. **Ответ:** $\frac{a\sqrt{3}}{3}$. --- ### Задача №17 Артём выходит из точки $S$. На каждой развилке он выбирает дорогу с равными шансами. 1. Проанализируем дерево вероятностей: - Из $S$ ведут 3 дороги. Вероятность каждой = $1/3$. - Из каждой «дорожки» следуют развилки: - Верхняя ветка: ведет к «Усадьбе» и «Детской площадке». Вероятность $1/2$ для каждой. - Средняя ветка: ведет к «Кафе», «Пруду» и «Фонтану». Вероятность $1/3$ для каждой. - Нижняя ветка: ведет к «Памятнику» (и «Саду камней» — но здесь, судя по графу, от $S$ вниз идет отдельная ветка к Саду камней, а Памятник в конце нижней группы). Рассмотрим путь к «Пруду» или «Фонтану»: - Путь через среднюю ветку: $P(\text{средняя}) = 1/3$. Из нее 3 исхода (Кафе, Пруд, Фонтан), каждый с $P = 1/3$. - Вероятность попасть в Пруд через среднюю ветку: $1/3 \cdot 1/3 = 1/9$. - Вероятность попасть в Фонтан через среднюю ветку: $1/3 \cdot 1/3 = 1/9$. - Вероятность попасть в Пруд или Фонтан: $1/9 + 1/9 = 2/9$. **Ответ:** $2/9$.