КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по теме: «Объемы многогранников».

Давай разберем твою контрольную работу по геометрии. ### Задача 1 Основание — ромб со стороной $a = 6$ см и углом $120^\circ$. Площадь основания: $S_{осн} = a^2 \cdot \sin(120^\circ) = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ см$^2$. Меньшая диагональ ромба $d$ лежит против острого угла $60^\circ$. По теореме косинусов: $d^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) = 36 + 36 - 36 = 36$, значит $d = 6$ см. Высота $H$ параллелепипеда и диагональ $d$ образуют прямоугольный треугольник с углом $45^\circ$ к основанию. Значит, $H = d \cdot \tan(45^\circ) = 6 \cdot 1 = 6$ см. Объем $V = S_{осн} \cdot H = 18\sqrt{3} \cdot 6 = 108\sqrt{3}$ см$^3$. **Ответ: 108√3 см³.** ### Задача 2 Правильная треугольная пирамида, все ребра $a = 3$ см. Высота пирамиды $H$ опускается в центр основания (равностороннего треугольника). Радиус $R$ описанной окружности основания: $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см. Высота пирамиды: $H = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6}$ см. Площадь основания: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$ см$^2$. Объем $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{6} = \frac{3\sqrt{18}}{4} = \frac{9\sqrt{2}}{4} = 2,25\sqrt{2}$ см$^3$. **Ответ: 2,25√2 см³.** ### Задача 3 Стороны треугольника $8, 9, 11$ см. Полупериметр $p = (8+9+11)/2 = 14$ см. Площадь основания по формуле Герона: $S = \sqrt{14(14-8)(14-9)(14-11)} = \sqrt{14 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{1260} = 6\sqrt{35}$ см$^2$. Высоты треугольника: $h_a = 2S/8 = 12\sqrt{35}/8 = 1,5\sqrt{35}$, $h_b = 2S/9 = 12\sqrt{35}/9 = 4/3\sqrt{35}$, $h_c = 2S/11 = 12\sqrt{35}/11$. Большая высота соответствует меньшей стороне (8 см): $H = 1,5\sqrt{35}$ см. Объем призмы $V = S \cdot H = 6\sqrt{35} \cdot 1,5\sqrt{35} = 9 \cdot 35 = 315$ см$^3$. **Ответ: 315 см³.** ### Задача 4 Правильная четырехугольная усеченная пирамида. Стороны оснований $a = 9$ см, $b = 7$ см. Площади: $S_1 = 81$ см$^2$, $S_2 = 49$ см$^2$. Боковое ребро $l$ наклонено под углом $30^\circ$. Проекция бокового ребра на основание равна разности радиусов описанных окружностей квадратов: $d = \frac{a\sqrt{2}}{2} - \frac{b\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(9-7) = \sqrt{2}$ см. Высота $H$ пирамиды: $H = d \cdot \tan(30^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см. Объем $V = \frac{1}{3} H (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} (81 + 49 + \sqrt{81 \cdot 49}) = \frac{\sqrt{6}}{9} (130 + 9 \cdot 7) = \frac{\sqrt{6}}{9} \cdot 193 = \frac{193\sqrt{6}}{9}$ см$^3$. **Ответ: 193√6/9 см³.**