Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника.

Пусть боковые стороны треугольника равны $a$, а основание равно $b$. По условию треугольник равнобедренный, значит, две его стороны равны. Рассмотрим два случая для разности сторон: 1) Разность боковой стороны и основания равна 4 см: $a - b = 4$, откуда $a = b + 4$. Периметр $P = 2a + b = 25$. Подставим $a$ в уравнение периметра: $2(b + 4) + b = 25$ $2b + 8 + b = 25$ $3b = 17$ $b = 17/3 = 5\frac{2}{3}$ см. Тогда $a = 5\frac{2}{3} + 4 = 9\frac{2}{3}$ см. Проверим неравенство треугольника: $a + a > b$, $9\frac{2}{3} + 9\frac{2}{3} > 5\frac{2}{3}$ (верно). Проверим условие про острый внешний угол: внешний угол острый, значит, внутренний смежный угол тупой (больше 90°). В треугольнике может быть только один тупой угол. Если угол при основании тупой, то их два, что невозможно. Значит, тупой угол лежит против основания $b$. Но для равнобедренного треугольника это возможно, если $b > a$. Здесь $5\frac{2}{3} < 9\frac{2}{3}$, значит, этот случай не подходит. 2) Разность основания и боковой стороны равна 4 см: $b - a = 4$, откуда $b = a + 4$. Периметр $P = 2a + b = 25$. Подставим $b$ в уравнение периметра: $2a + (a + 4) = 25$ $3a = 21$ $a = 7$ см. Тогда $b = 7 + 4 = 11$ см. Стороны: 7 см, 7 см, 11 см. Проверим неравенство треугольника: $7 + 7 > 11$ (14 > 11, верно). Проверим внешний угол: внешний угол при вершине — острый, значит, угол при вершине тупой (больше 90°). Проверим по теореме косинусов: $b^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(\gamma)$, где $\gamma$ — угол при вершине. $11^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7^2 \cdot \cos(\gamma)$ $121 = 49 + 49 - 98 \cos(\gamma)$ $121 = 98 - 98 \cos(\gamma)$ $23 = -98 \cos(\gamma)$ $\cos(\gamma) = -23/98$. Косинус отрицательный, значит, угол тупой. Внешний угол при вершине равен $180° - \gamma$, и так как $\gamma > 90°$, то $180° - \gamma < 90°$ — острый. Условие выполняется. Ответ: 7 см, 7 см, 11 см.