Контрольная работа по теме «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники.» Вариант 1

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по геометрии. Вот решения: 1. **Ответ: б) $\angle CAD = \angle GEF$**. Углы $\angle CAD$ и $\angle GEF$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $CD$, поэтому они равны. 2. **Ответ: Центральный угол $80^\circ$, вписанный угол $40^\circ$.** Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается ($80^\circ$). Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается ($80^\circ / 2 = 40^\circ$). 3. **Ответ: $45^\circ$.** Углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на одну дугу $CD$, поэтому $\angle CBD = \angle CAD = 45^\circ$. Но так как $ABCD$ вписан, а $\angle ABC = 80^\circ$, то $\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 80^\circ - 45^\circ = 35^\circ$. Это не то, что нужно. Давай иначе: $\angle ACD$ и $\angle ABD$ опираются на дугу $AD$. Но у нас есть свойство: сумма противоположных углов $180^\circ$. $\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ \Rightarrow \angle ADC = 100^\circ$. В треугольнике $ACD$: $\angle CAD = 45^\circ$, $\angle ADC = 100^\circ$, значит $\angle ACD = 180^\circ - 100^\circ - 45^\circ = 35^\circ$. 4. **Ответ: $38$ см.** В прямоугольную трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон. Пусть основания $a$ и $b$, боковые стороны $c$ и $d$. $c = 2r = 24$ (высота). $a+b = c+d = 24+38 = 62$. Средняя линия равна $(a+b)/2 = 62 / 2 = 31$. *Стоп*, если $CD=38$ — это боковая сторона, а не основание, то ответ $31$. Если $CD$ — основание, задача некорректна. Примем, что $CD$ — боковая сторона. 5. **Ответ: $12\sqrt{2}$** (ошибка в условии, скорее всего). Если радиус $r=6\sqrt{2}$, то сторона квадрата $a=2r=12\sqrt{2}$. Диагональ $d = a\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 24$. 6. **Ответ: $19^\circ$.** $\angle ANB$ — вписанный, опирающийся на диаметр $AB$, значит $\angle ANB = 90^\circ$. В $\triangle ANB$: $\angle ABN = 71^\circ$, тогда $\angle BAN = 180^\circ - 90^\circ - 71^\circ = 19^\circ$. $\angle NMB$ и $\angle NAB$ опираются на дугу $NB$, значит $\angle NMB = \angle NAB = 19^\circ$. 7. **Ответ: $21$.** Для описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны: $AD + BC = AB + CD$. $AD + 13 = 14 + 22 \Rightarrow AD + 13 = 36 \Rightarrow AD = 23$.