163. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника.

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC = 8$ см и боковыми сторонами $AB = BC = x$. Проведем медиану $AM$ к боковой стороне $BC$. Тогда $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{x}{2}$. Рассмотрим два треугольника, образованные медианой $AM$: 1. $\triangle ABM$ со сторонами $AB = x$, $BM = \frac{x}{2}$ и $AM$. Его периметр $P_1 = AB + BM + AM = x + \frac{x}{2} + AM = 1,5x + AM$. 2. $\triangle AMC$ со сторонами $AC = 8$, $MC = \frac{x}{2}$ и $AM$. Его периметр $P_2 = AC + MC + AM = 8 + \frac{x}{2} + AM$. По условию, периметр одного треугольника на 2 см больше другого. Рассмотрим разность периметров: $|P_1 - P_2| = |(1,5x + AM) - (8 + 0,5x + AM)| = |x - 8| = 2$. Это дает два случая: 1. $x - 8 = 2 \Rightarrow x = 10$. 2. $x - 8 = -2 \Rightarrow x = 6$. Проверим неравенство треугольника для $x=6$: Стороны: 6, 6, 8. Медиана к стороне 6 делит сторону на 3 и 3. В треугольнике $\triangle AMC$ стороны 8, 3, $AM$. По неравенству треугольника $AM < 8+3=11$ и $AM > 8-3=5$. Это возможно. Однако, если $x=6$, то периметры: $P_1 = 6 + 3 + AM = 9 + AM$. $P_2 = 8 + 3 + AM = 11 + AM$. Разница $|P_2 - P_1| = 2$. Условие выполняется. Если $x=10$, периметры: $P_1 = 10 + 5 + AM = 15 + AM$. $P_2 = 8 + 5 + AM = 13 + AM$. Разница $|P_1 - P_2| = 2$. Условие выполняется. В обоих случаях условие задачи формально соблюдается, но в школьных задачах чаще подразумевается единственный ответ. Проверим, есть ли ограничения. Обычно рассматриваются оба случая, если нет дополнительных условий. Ответ: 6 см или 10 см.