Решите неравенство 16x^2 + 24x + 9 / 4x^2 - 9x - 9 <= 0.

Для решения неравенства $\frac{16x^2 + 24x + 9}{4x^2 - 9x - 9} \le 0$ выполним следующие шаги: 1. Разложим числитель и знаменатель на множители. - Числитель: $16x^2 + 24x + 9$. Это полный квадрат суммы: $(4x + 3)^2$. - Знаменатель: $4x^2 - 9x - 9$. Найдем корни уравнения $4x^2 - 9x - 9 = 0$. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2$. Корни: $x = \frac{9 \pm 15}{8}$, т.е. $x_1 = 3$ и $x_2 = -\frac{3}{4} = -0,75$. Тогда $4x^2 - 9x - 9 = 4(x - 3)(x + 0,75) = (x - 3)(4x + 3)$. 2. Перепишем неравенство: $\frac{(4x + 3)^2}{(x - 3)(4x + 3)} \le 0$ 3. Сократим дробь, учитывая область допустимых значений (ОДЗ): ОДЗ: $(x - 3)(4x + 3) \neq 0$, следовательно $x \neq 3$ и $x \neq -0,75$. При $x \neq -0,75$ получаем: $\frac{4x + 3}{x - 3} \le 0$ 4. Используем метод интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = -0,75$ и $x = 3$. Расставим знаки на числовой прямой: - При $x > 3$ выражение положительно (+). - При $-0,75 < x < 3$ выражение отрицательно (-). - При $x < -0,75$ выражение положительно (+). Так как выражение должно быть $\le 0$, нас интересует интервал $(-0,75; 3)$. Учитывая ОДЗ, точка $x = -0,75$ должна быть «выколотой», так как при ней знаменатель обращается в ноль (даже несмотря на то, что выражение $\le 0$). Ответ: $x \in (-0,75; 3)$.