1. Теорема об окружности, вписанной в треугольник. Центр вписанной окружности.

### Билет №23 1. **Теорема об окружности, вписанной в треугольник:** В любой треугольник можно вписать окружность. Она касается всех трех его сторон. Центр вписанной окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис всех внутренних углов треугольника. 2. **Площадь треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности:** Формула выглядит так: $S = p \cdot r$, где $S$ — площадь, $p = (a+b+c)/2$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности. 3. **Задача:** Дано: $S = 24$, $p = 12$. Так как $S = p \cdot r$, то $r = S / p = 24 / 12 = 2$. **Ответ: 2**. ### Билет №24 1. **Описанная около многоугольника окружность:** Это окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Она существует, если серединные перпендикуляры ко всем сторонам многоугольника пересекаются в одной точке (центре окружности). 2. **Свойство вписанного в окружность четырехугольника:** Сумма противоположных углов такого четырехугольника всегда равна $180^\circ$. 3. **Задача:** Пусть углы равны $2x$ и $7x$. По свойству: $2x + 7x = 180^\circ$, значит $9x = 180^\circ$, откуда $x = 20^\circ$. Углы равны $2 \cdot 20 = 40^\circ$ и $7 \cdot 20 = 140^\circ$. **Ответ: $40^\circ, 140^\circ$**. ### Билет №25 1. **Теорема об окружности, описанной около треугольника:** Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Центр этой окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. 2. **Свойство касательных:** Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, а их отрезки от точки до точек касания равны. 3. **Задача:** Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, его гипотенуза является диаметром этой окружности. Так как гипотенуза равна $10$, то радиус $R = 10 / 2 = 5$. **Ответ: 5**. ### Билет №26 1. **Центральная и осевая симметрия:** - Центральная симметрия — отображение относительно точки (центра). - Осевая симметрия — отображение относительно прямой (оси). 2. **Формула расстояния:** Расстояние между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. 3. **Задача:** Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Получится прямоугольный треугольник, где один катет — это высота $h$, другой катет — разность оснований $(7 - 4) = 3$, а гипотенуза — боковая сторона $5$. По теореме Пифагора: $h^2 + 3^2 = 5^2 \Rightarrow h^2 + 9 = 25 \Rightarrow h^2 = 16 \Rightarrow h = 4$. **Ответ: 4**.