819. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 39°. AD, BE и CF — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Дано: $\triangle ABC$, $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 39^\circ$. $AD$, $BE$, $CF$ — высоты, пересекающиеся в точке $O$. Найдем $\angle AOF$. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACF$ (так как $CF$ — высота к $AB$, но здесь важнее, что $\angle AFC = 90^\circ$). В $\triangle ACF$ сумма острых углов равна $90^\circ$, значит $\angle ACF = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 2. В $\triangle ABC$ найдем третий угол $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (30^\circ + 39^\circ) = 180^\circ - 69^\circ = 111^\circ$. 3. Рассмотрим треугольник $AOF$. Угол $\angle AOF$ — это внешний угол для треугольника $ACF$ или можно рассмотреть $\triangle AOF$ непосредственно. В $\triangle AOF$ угол $\angle AFO = 90^\circ$ (так как $CF$ — высота). Тогда $\angle AOF = 90^\circ - \angle OAF$. 4. Чтобы найти $\angle OAF$ (он же $\angle DAC$), рассмотрим прямоугольный $\triangle ADC$ ($\angle ADC = 90^\circ$). Тогда $\angle DAC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - (180^\circ - 69^\circ) = 90^\circ - 111^\circ$. Подождите, это неверно, так как $\angle C$ тупой, высота падает на продолжение стороны. Давайте проще: в прямоугольном $\triangle ACF$ угол $\angle ACF = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Точка $O$ лежит на высоте $CF$. В прямоугольном треугольнике $AOF$ угол $\angle OAF = 90^\circ - \angle ACF$ не работает, так как точка $F$ лежит на $AB$. В $\triangle AOF$ угол $\angle AFO = 90^\circ$. Угол $\angle OAF$ — это угол между высотой $AD$ и стороной $AC$. В прямоугольном треугольнике $ADC$ угол $\angle DAC = 90^\circ - \angle C$. Но так как угол $C = 111^\circ$, высота $AD$ падает на продолжение стороны $BC$. Правильный подход: $\angle AOF = \angle C$. Это свойство углов между высотами. Угол между высотами $AD$ и $CF$ равен углу $B$ или $180^\circ - B$ в зависимости от расположения. Однако, проще всего через углы треугольника: $\angle AOF$ равен углу $\angle B$ в остроугольном треугольнике, либо $180-B$ в тупоугольном. Здесь $\angle C = 111^\circ$ (тупой), значит $\triangle ABC$ тупоугольный. Угол между высотами $AD$ и $CF$ равен $180^\circ - \angle B = 180^\circ - 39^\circ = 141^\circ$. Ответ: 141^\circ.