№1 Из точки А к плоскости γ проведены две наклонные, которые образуют со своими проекциями на плоскость γ углы в 60°. Угол между наклонными 90°. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если расстояние от точки А до плоскости γ равно √18 см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников, образованных наклонными и их проекциями: 1. В прямоугольном треугольнике $\triangle AKB$ ($AK \perp \gamma$): $AK = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см. $\angle ABK = 60^\circ$ (угол между наклонной и проекцией). Найдем проекцию $KB$: $KB = \frac{AK}{\operatorname{tg} 60^\circ} = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6}$ см. Найдем длину наклонной $AB$: $AB = \frac{AK}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{18}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{18}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}$ см. 2. Аналогично для треугольника $\triangle AKC$: Так как углы наклона одинаковы, то $KC = KB = \sqrt{6}$ см, а наклонная $AC = AB = 2\sqrt{6}$ см. 3. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$, лежащий в плоскости $\gamma$: Известно, что угол между наклонными $\angle BAC = 90^\circ$. Так как $AB = AC = 2\sqrt{6}$, то треугольник $ABC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора находим гипотенузу $BC$ (искомое расстояние): $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{6})^2} = \sqrt{24 + 24} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ см. **Ответ: $4\sqrt{3}$ см.**