Бараш выписал все восьмизначные числа, цифры которых идут по убыванию. Сколько чисел выписал Бараш?

Привет! Давай разберем задачи из твоего листа. Начнем с 8, 9 и 10 задач, так как они хорошо видны. ### Задача 8 Бараш выписал все восьмизначные числа, цифры которых идут по убыванию. Сколько чисел выписал Бараш? **Решение:** Восьмизначное число — это последовательность из 8 цифр: $a_1 > a_2 > a_3 > a_4 > a_5 > a_6 > a_7 > a_8$. Так как цифры идут строго по убыванию, все они должны быть различными и выбранными из множества цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Всего есть 10 возможных цифр. Чтобы составить восьмизначное число с убывающими цифрами, нам нужно выбрать любые 8 различных цифр из 10. Как только мы выбрали набор из 8 цифр, существует только один способ расставить их в порядке убывания. Единственное ограничение: число не может начинаться с 0. Однако, так как цифры должны убывать, 0 может стоять только на последнем месте (если он выбран в числе) или вообще не входить в число, если мы выбрали цифры больше 0. Но подожди, если мы выбираем 8 цифр из 10, то 0 либо входит в набор (и тогда он автоматически станет последним), либо не входит. В любом случае, число с 8 убывающими цифрами не может начинаться с нуля, так как после нуля должны идти еще 7 меньших цифр, а таких отрицательных цифр нет. Значит, любая комбинация из 8 цифр (выбранных из 10) дает ровно одно подходящее число. Количество способов выбрать 8 цифр из 10 равно числу сочетаний $C_{10}^8 = C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$. **Ответ: 45** ### Задача 9 Белоснежка разрезала свой старенький фартук из клетчатой ткани на прямоугольники $6 \times 3$ и $5 \times 1$. Сколько получилось полосок $5 \times 1$, если изначально в фартуке было 87 клеток? **Решение:** Пусть $x$ — количество прямоугольников $6 \times 3$, а $y$ — количество полосок $5 \times 1$. Площадь одного прямоугольника $6 \times 3$ равна $18$ клеток. Площадь одной полоски $5 \times 1$ равна $5$ клеток. Общее количество клеток: $18x + 5y = 87$. Нам нужно найти натуральные решения (количество прямоугольников). Переберем возможные значения $x$: - Если $x = 1$, то $18 \times 1 + 5y = 87 \Rightarrow 5y = 69$ (не делится на 5). - Если $x = 2$, то $18 \times 2 + 5y = 87 \Rightarrow 36 + 5y = 87 \Rightarrow 5y = 51$ (не делится). - Если $x = 3$, то $18 \times 3 + 5y = 87 \Rightarrow 54 + 5y = 87 \Rightarrow 5y = 33$ (не делится). - Если $x = 4$, то $18 \times 4 + 5y = 87 \Rightarrow 72 + 5y = 87 \Rightarrow 5y = 15 \Rightarrow y = 3$. Это подходит. - Если $x = 5$, то $18 \times 5 = 90 > 87$ (не подходит). Значит, полосок $5 \times 1$ было 3. **Ответ: 3** ### Задача 10 Квадрат разрезали на 9 одинаковых квадратиков. Во сколько раз периметр исходного квадрата меньше суммы периметров получившихся квадратиков? **Решение:** Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Тогда его периметр $P = 4a$. Чтобы разрезать квадрат на 9 одинаковых квадратиков, нужно разрезать его на сетку $3 \times 3$. Сторона каждого маленького квадратика будет $\frac{a}{3}$. Периметр одного маленького квадратика $p = 4 \times \frac{a}{3} = \frac{4a}{3}$. Сумма периметров 9 маленьких квадратиков: $9 \times \frac{4a}{3} = 3 \times 4a = 12a$. Нам нужно найти, во сколько раз периметр исходного квадрата ($4a$) меньше суммы периметров маленьких ($12a$): $12a / 4a = 3$. Периметр исходного квадрата в 3 раза меньше суммы периметров получившихся. **Ответ: в 3 раза**