В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Допущение: Восстановлен текст пропущенных слов в заданиях 1-5 для корректного ответа. Вот решения: ### Вставьте пропущенное слово/слова: 1. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$. 2. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^{\circ}$, то около него можно описать окружность. 3. Если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная. 4. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. 5. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность. ### Верно ли утверждение: 6. Около любого четырёхугольника можно описать окружность — Нет. 7. Окружность можно описать около ромба — Нет (только если это квадрат). 8. Окружность можно описать около прямоугольника — Да. 9. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$ — Да. 10. В любой четырёхугольник можно вписать окружность — Нет. 11. Если в трапецию можно вписать окружность, то она равнобедренная — Нет. ### Найдите x: 12) $x = 180^{\circ} - 105^{\circ} - 35^{\circ} = 40^{\circ}$. (Сумма углов треугольника $ABD$ равна $180^{\circ}$, так как $\angle ADB$ опирается на дугу $AB$, $\angle ABD$ опирается на дугу $AD$ — здесь используем свойства вписанных углов). 13) $\angle ADB$ опирается на ту же дугу, что и $\angle ACB$, но здесь проще: $\angle BCD$ — вписанный, опирается на дугу $BAD$ ($130^{\circ} + 63^{\circ} \times 2$ — нет, воспользуемся тем, что сумма углов $\triangle BCD = 180^{\circ}$). Если $x = \angle CDB$, то дуга $BC = 2 \times 63^{\circ} = 126^{\circ}$, дуга $CD = 2x$. Сумма дуг $130^{\circ} + 126^{\circ} + 2x = 360^{\circ}$, откуда $2x = 104^{\circ}$, $x = 52^{\circ}$. 14) В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны: $15 + 22 = 21 + x$. Отсюда $x = 37 - 21 = 16$. 15) Периметр $P = 44$. Сумма противоположных сторон равна половине периметра, т.е. $22$. Для трапеции $AB + CD = 22$ и $BC + AD = 22$. Так как это равнобедренная трапеция (описанная), то стороны равны. Однако, данных недостаточно для точного $x$, если не сказано, что все стороны равны (если это ромб), но обычно в таких задачах $x$ — это сторона. Если $AB=CD=x$, то $2x = 22$, $x = 11$. 16) Около трапеции можно описать окружность (она равнобедренная). По свойству описанного четырехугольника $10 + 15 = 12 + R$. $25 = 12 + R$, $R = 13$. $x$ — радиус, равен $13 / 2 = 6.5$ (если $x$ — диаметр) или $13$ (если $x$ — радиус). На рисунке $x$ — радиус, значит $x = 6.5$. 17) $ABCD$ — квадрат. $OB$ — половина диагонали. $OB = \sqrt{2}$. Диагональ $BD = 2\sqrt{2}$. Сторона квадрата $a$ находится из $a^2 + a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$, $2a^2 = 8$, $a^2 = 4$, $a = 2$. Радиус вписанной окружности $x = a/2 = 1$. Ответ: 12) $40^{\circ}$; 13) $52^{\circ}$; 14) $16$; 15) $11$; 16) $6.5$; 17) $1$.