Теорема о трех перпендикулярах

### Теорема о трёх перпендикулярах **Формулировка:** Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. **Обратная теорема:** Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции. **Основные элементы:** 1. Перпендикуляр к плоскости (высота). 2. Наклонная к плоскости. 3. Проекция наклонной на плоскость. 4. Прямая в плоскости, проходящая через точку пересечения наклонной с плоскостью. **Доказательство (кратко):** 1. Пусть $AH \perp \alpha$ (перпендикуляр), $AM$ — наклонная, $HM$ — её проекция на плоскость $\alpha$. 2. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ и $a \perp HM$. 3. Так как $AH \perp \alpha$, то $AH$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, значит $AH \perp a$. 4. Прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($HM$ и $AH$) плоскости наклонной ($AHM$). 5. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $a \perp (AHM)$, а значит, $a$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая наклонную $AM$.