1. В треугольнике ABC ∠A = 60°, ∠C = 65°. а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный, и укажите его основание.

### Вариант 1 **1. Углы треугольника** Сумма углов треугольника всегда равна $180^\circ$. $\angle B = 180^\circ - (60^\circ + 65^\circ) = 55^\circ$. Углы треугольника: $60^\circ, 65^\circ, 55^\circ$. *Примечание:* Так как все углы разные, этот треугольник не является равнобедренным. Вероятно, в условии опечатка. **2. Доказательство равенства и углы** а) $\triangle AOC = \triangle BOD$ по первому признаку (две стороны и угол между ними): - $AO = OB$ (по условию $O$ — середина $AB$) - $CO = OD$ (по условию $O$ — середина $CD$) - $\angle AOC = \angle BOD$ (как вертикальные углы). б) Так как $\triangle AOC = \triangle BOD$, то соответствующие углы равны: $\angle OAC = \angle OBD$. В $\triangle BOD$: $\angle OBD = 180^\circ - 130^\circ - 25^\circ = 25^\circ$. Следовательно, $\angle OAC = 25^\circ$. **3. Периметр** $P = 72$ см. Одна сторона $18$ см. 1. Если $18$ см — основание, то боковые стороны: $(72 - 18) : 2 = 27$ см. (Треугольник со сторонами $27, 27, 18$ существует). 2. Если $18$ см — боковая сторона, то основание: $72 - 18 - 18 = 36$ см. Треугольник вырожденный ($18+18=36$), поэтому такое решение невозможно. **Ответ:** Боковая сторона равна $27$ см. ### Вариант 2 **1. Углы треугольника** $\angle B = 180^\circ - (110^\circ + 30^\circ) = 40^\circ$. Треугольник не равнобедренный. **2. Доказательство и углы** а) $\triangle AOD = \triangle BOC$ по первому признаку (две стороны и угол между ними): - $AO = OB$, $DO = OC$ (так как $O$ — середина). - $\angle AOD = \angle BOC$ (как вертикальные). б) Из равенства треугольников следует, что $\angle OBC = \angle ODA = 35^\circ$. **3. Периметр** $P = 84$ см. Одна сторона $21$ см. 1. Если $21$ см — основание, боковые стороны: $(84 - 21) : 2 = 31.5$ см. 2. Если $21$ см — боковая сторона, основание: $84 - 21 - 21 = 42$ см (вырожденный треугольник). **Ответ:** Основание треугольника $42$ см или боковые стороны по $31.5$ см.