Решите систему уравнений { x^2 + 1/2x - 5y = 8 y^2 + x + 2x^2 = 40

Для решения системы уравнений выполним следующие шаги: $$\begin{cases} x^2 + \frac{1}{2}x - 5y = 8 \\ y^2 + x + 2x^2 = 40 \end{cases}$$ 1. Умножим первое уравнение на $2$, чтобы избавиться от дробного коэффициента: $$2x^2 + x - 10y = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 16 - 2x^2 + 10y$$ Выразим $x$ через $y$ сложнее, лучше выразить $5y$ из первого уравнения: $$5y = x^2 + 0,5x - 8 \quad \Rightarrow \quad y = 0,2x^2 + 0,1x - 1,6$$ 2. Подставим выражение для $y$ во второе уравнение: $$(0,2x^2 + 0,1x - 1,6)^2 + x + 2x^2 = 40$$ Это уравнение 4-й степени, оно довольно громоздкое. Давайте попробуем выразить $x$ из первого или второго. Из первого: $5y = x^2 + 0,5x - 8$ Из второго: $y^2 = 40 - x - 2x^2$. Поскольку $y^2 \ge 0$, то $40 - x - 2x^2 \ge 0$, значит $2x^2 + x - 40 \le 0$. Попробуем найти целые решения методом подбора, учитывая ограничения. Если $x=4$: 1) $16 + 0,5(4) - 5y = 8 \Rightarrow 18 - 5y = 8 \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y=2$ Проверим во втором: 2) $2^2 + 4 + 2(4^2) = 4 + 4 + 32 = 40$. Верно! Если $x=-4,5$ (не целое, проверим): 1) $20,25 - 2,25 - 5y = 8 \Rightarrow 18 - 5y = 8 \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y=2$ Проверим во втором: 2) $2^2 + (-4,5) + 2(20,25) = 4 - 4,5 + 40,5 = 40$. Верно! Есть еще корни. Решим систему методом замены или вычитания. Умножим первое уравнение на $-2$: $-2x^2 - x + 10y = -16$ Сложим со вторым: $y^2 + x + 2x^2 - 2x^2 - x + 10y = 40 - 16$ $y^2 + 10y = 24$ $y^2 + 10y - 24 = 0$ Корни по теореме Виета: $y_1 = 2, y_2 = -12$. Случай 1: $y = 2$. $x^2 + 0,5x - 5(2) = 8 \Rightarrow x^2 + 0,5x - 18 = 0 \Rightarrow 2x^2 + x - 36 = 0$ $D = 1^2 - 4(2)(-36) = 1 + 288 = 289 = 17^2$ $x = (-1 \pm 17) / 4$. $x_1 = 4, x_2 = -4,5$. Случай 2: $y = -12$. $x^2 + 0,5x - 5(-12) = 8 \Rightarrow x^2 + 0,5x + 60 = 8 \Rightarrow x^2 + 0,5x + 52 = 0$ $D = 0,25 - 4(52) < 0$. Корней нет. **Ответ:** $(4; 2); (-4,5; 2)$.