16. В треугольнике MNK на стороне MK отметили произвольную точку P. В треугольнике MNP провели биссектрису PT. В треугольнике NKP построили высоту PQ. Угол TPQ равен 90°, PK = 19. Найди NP.

Пусть $\angle MNP = 2\alpha$. Поскольку $PT$ — биссектриса угла $\angle MNP$ в треугольнике $MNP$, то $\angle MPT = \alpha$ и $\angle NPT = \alpha$. В треугольнике $NKP$, $PQ$ является высотой, следовательно, $\angle PQN = 90^\circ$. По условию $\angle TPQ = 90^\circ$. Так как $P, Q, K$ лежат на одной прямой (стороне $MK$), а $T$ лежит на стороне $MN$, рассмотрим углы: 1. $\angle NPQ = 180^\circ - \angle NPK$ (смежные) 2. $\angle TPQ = 90^\circ$ (по условию). Заметим, что $\angle NPK = \angle NPT + \angle TPK = \alpha + \angle TPK$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $PQK$, где $\angle PQK = 90^\circ$. В треугольнике $NKP$ угол $\angle PKN$ (обозначим его $\beta$). Тогда $\angle K = \beta$. Из условия $\angle TPQ = 90^\circ$, можно сделать вывод, что треугольники подобны или связаны через тригонометрию. Фактически, условие $\angle TPQ = 90^\circ$ означает, что биссектриса $PT$ перпендикулярна высоте $PQ$. Это геометрическое свойство приводит к тому, что треугольник $NPK$ равнобедренный с основанием $NK$, или же, что $NP = PK$. Так как $\angle TPQ = 90^\circ$, то $\angle NPT + \angle NPQ = 90^\circ$. В треугольнике $PQN$ угол $\angle PNQ = 90^\circ - \angle NPQ = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. Таким образом, в треугольнике $NPK$ углы при основании $NK$ равны: $\angle PNK = \angle PKN = \alpha$. Следовательно, треугольник $NPK$ — равнобедренный, и $NP = PK$. Так как $PK = 19$, то $NP = 19$. Ответ: 19.