24.22. Найдите наименьший (в градусах) положительный корень уравнения:

Для решения воспользуемся формулами синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ и синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$. a) $\sin x \cos 45^{\circ} + \cos x \sin 45^{\circ} = \cos 17^{\circ} \cos 13^{\circ} - \sin 17^{\circ} \sin 13^{\circ}$ Применяем формулы: $\sin(x + 45^{\circ}) = \cos(17^{\circ} + 13^{\circ})$ $\sin(x + 45^{\circ}) = \cos 30^{\circ}$ Так как $\cos 30^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 60^{\circ}$, уравнение принимает вид: $\sin(x + 45^{\circ}) = \sin 60^{\circ}$ Тогда: $x + 45^{\circ} = 60^{\circ} + 360^{\circ}k \Rightarrow x = 15^{\circ} + 360^{\circ}k$ $x + 45^{\circ} = 180^{\circ} - 60^{\circ} + 360^{\circ}k \Rightarrow x = 75^{\circ} + 360^{\circ}k$ Наименьший положительный корень при $k=0$ равен $15^{\circ}$. б) $\cos x \cos 45^{\circ} + \sin x \sin 45^{\circ} = \sin 200^{\circ} \cos 80^{\circ} - \cos 200^{\circ} \sin 80^{\circ}$ Применяем формулы: $\cos(x - 45^{\circ}) = \sin(200^{\circ} - 80^{\circ})$ $\cos(x - 45^{\circ}) = \sin 120^{\circ}$ Так как $\sin 120^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 120^{\circ}) = \cos(-30^{\circ}) = \cos 30^{\circ}$, уравнение принимает вид: $\cos(x - 45^{\circ}) = \cos 30^{\circ}$ Тогда: $x - 45^{\circ} = \pm 30^{\circ} + 360^{\circ}k$ 1) $x = 45^{\circ} + 30^{\circ} = 75^{\circ}$ 2) $x = 45^{\circ} - 30^{\circ} = 15^{\circ}$ Наименьший положительный корень равен $15^{\circ}$. Ответ: а) 15°; б) 15°.