1) Какое самое маленькое количество пакeтиков сможет собрать Петя?

Давай разберем задачу по порядку. ### Условие Всего конфет: * 7 мятных * 9 лимонных * 6 клубничных * 8 вишнёвых Итого: $7 + 9 + 6 + 8 = 30$ конфет. ### Решение вопроса 1 Петя хочет разложить все конфеты в $n$ пакетиков так, чтобы: 1. В каждом пакетике не было двух одинаковых конфет (значит, в одном пакетике максимум 4 конфеты: 1 мятная, 1 лимонная, 1 клубничная, 1 вишнёвая). 2. Во всех пакетиках было одинаковое количество конфет. 3. Использованы все 30 конфет. Значит, $30$ делится на $n$ нацело, а количество конфет в одном пакетике ($30/n$) не превышает $4$ (всего видов конфет 4). $30 / n \le 4 \implies n \ge 30 / 4 = 7,5$. Так как $n$ должно быть целым, $n \ge 8$. Проверим $n = 8$: В каждом пакетике должно быть $30 / 8 = 3,75$ конфет. Это невозможно, так как количество конфет должно быть целым числом. Проверим $n = 9$: $30 / 9$ — не целое. Проверим $n = 10$: $30 / 10 = 3$ конфеты в каждом пакетике. Это возможно, так как $3 \le 4$. **Ответ:** 10 пакетиков. ### Решение вопроса 2 Всего 10 пакетиков, в каждом по 3 конфеты. Всего конфет: - Мятных (M) — 7 - Лимонных (L) — 9 - Клубничных (K) — 6 - Вишнёвых (V) — 8 Пусть $x$ — количество пакетиков, в которых есть и лимонная, и клубничная, и вишнёвая конфета. В этих пакетиках занято по 3 места (L, K, V). Остальные $(10 - x)$ пакетиков содержат по 3 другие конфеты. В каждом из этих $(10 - x)$ пакетиков отсутствует хотя бы один из видов (L, K, V). Запишем, сколько конфет каждого вида *не* попало в эти $x$ «полных» пакетиков: - Лимонных осталось: $9 - x$ - Клубничных осталось: $6 - x$ - Вишнёвых осталось: $8 - x$ - Мятных всего: 7 В оставшихся $(10 - x)$ пакетиках по 3 конфеты. Всего конфет в них: $3(10 - x) = 30 - 3x$. Сумма оставшихся конфет: $(9-x) + (6-x) + (8-x) + 7 = 30 - 3x$. Все сходится. Так как в каждом пакетике *не более* одной конфеты каждого вида, то в оставшихся $(10 - x)$ пакетиках количество конфет каждого вида не может превышать $(10 - x)$. - Для клубничных: $6 - x \le 10 - x$. (Верно, $6 \le 10$) - Для мятных: $7 \le 10 - x \implies x \le 3$. - Для лимонных: $9 - x \le 10 - x$. (Верно, $9 \le 10$) - Для вишнёвых: $8 - x \le 10 - x$. (Верно, $8 \le 10$) Чтобы все конфеты были распределены, нужно, чтобы количество свободных слотов в $(10-x)$ пакетиках для каждого вида конфет было достаточно: 1. Количество пакетиков, где *нет* клубники: $(10-x) - (6-x) = 4$ пакетика. 2. Количество пакетиков, где *нет* вишни: $(10-x) - (8-x) = 2$ пакетика. 3. Количество пакетиков, где *нет* лимона: $(10-x) - (9-x) = 1$ пакетик. 4. Количество пакетиков, где *нет* мяты: $(10-x) - 7 = 3 - x$ пакетиков. Сумма «пустых мест» для видов конфет в $(10-x)$ пакетиках равна $3 \times (10-x) = 30 - 3x$. Сумма «отсутствующих» конфет: $4 + 2 + 1 + (3 - x) = 10 - x$. В каждом из $(10-x)$ пакетиков должно быть по 3 конфеты, то есть «пустое место» — это отсутствие конкретного вида. Следовательно, количество отсутствующих конфет должно быть равно количеству пустых мест. $10 - x = 30 - 3x$ $2x = 20$ $x = 10$? Нет, это неверно, так как $x$ не может быть 10 (останется 0 пакетиков). Посмотрим иначе: в каждом из 10 пакетиков по 3 конфеты. Всего 30 конфет. Конфет *не* хватает до полного набора из 4 видов в каждом пакетике: $10 \times 1 = 10$ конфет (всего 40 мест, 30 конфет). То есть в каждом пакетике отсутствует ровно 1 конфета. Значит: - В $10 - 6 = 4$ пакетиках нет клубничной. - В $10 - 8 = 2$ пакетиках нет вишнёвой. - В $10 - 9 = 1$ пакетик нет лимонной. - В $10 - 7 = 3$ пакетика нет мятной. Всего «отсутствий»: $4 + 2 + 1 + 3 = 10$. Верно. Нас спрашивают количество пакетиков, где есть L, K и V. Это значит, в них *нет* мятной конфеты. Таких пакетиков по условию — 3. **Ответ:** 3 пакетика.