OM = 18, ∠NMK - ?

Для решения задачи 2 рассмотрим треугольник $ONM$ и свойства касательных к окружности. 1. По условию $ON = 9$ (радиус окружности). Так как $MN$ — касательная, радиус $ON$ перпендикулярен касательной $MN$, следовательно, $\angle ONM = 90^\circ$. Значит, треугольник $\triangle ONM$ — прямоугольный. 2. Также дано $OM = 18$. 3. В прямоугольном треугольнике $\triangle ONM$ катет $ON = 9$, а гипотенуза $OM = 18$. 4. Заметим, что катет $ON$ в два раза меньше гипотенузы $OM$ ($18 / 9 = 2$). По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Значит, $\angle OMN = 30^\circ$. 5. В треугольнике $\triangle ONM$ сумма углов равна $180^\circ$. Тогда $\angle ONM + \angle OMN + \angle MON = 90^\circ + 30^\circ + \angle MON = 180^\circ$, откуда $\angle MON = 60^\circ$. 6. Треугольники $\triangle ONM$ и $\triangle OKM$ равны по катету и гипотенузе ($ON=OK=R$, $OM$ — общая). Значит, $\angle NMK = \angle OMN + \angle OMK = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$. **Ответ:** $\angle NMK = 60^\circ$.