В треугольнике АВС высота АА1 не меньше стороны ВС, а высота ВВ1 не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный.

Дано: в треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$ и $BB_1$ удовлетворяют условиям $AA_1 \ge BC$ и $BB_1 \ge AC$. Доказательство: 1. Вспомним свойство высоты: в любом треугольнике длина высоты не превышает длины любой из сторон, исходящих из той же вершины. То есть $AA_1 \le AB$ и $AA_1 \le AC$. Также верно, что $BB_1 \le AB$ и $BB_1 \le BC$. 2. Из условия $AA_1 \ge BC$ и свойства высоты $AA_1 \le AC$ получаем цепочку неравенств: $BC \le AA_1 \le AC$, следовательно, $BC \le AC$. 3. Из условия $BB_1 \ge AC$ и свойства высоты $BB_1 \le BC$ получаем цепочку неравенств: $AC \le BB_1 \le BC$, следовательно, $AC \le BC$. 4. Из $BC \le AC$ и $AC \le BC$ следует, что $AC = BC$. Треугольник равнобедренный. 5. Поскольку $AC = BC$, то $AA_1 = AC$ и $BB_1 = BC$ (так как высота, опущенная на сторону, не может быть больше стороны, кроме случая, когда она является стороной треугольника). Это означает, что $AA_1 = AC$ и $BB_1 = BC$. 6. Высота, совпадающая со стороной, возможна только в прямоугольном треугольнике. Так как $AA_1$ — высота к $BC$ и $AA_1 = AC$, то угол $C$ равен $90^\circ$ (либо вершина $A_1$ совпадает с $C$). Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AC=BC$) и прямоугольным (угол $C = 90^\circ$). **Ответ: Доказано.**