Решите систему уравнений { y * x^log_y(x) = x^5, log_4(y) * log_y(y - 3x) = 1 }. В ответе запишите сумму решений системы уравнений.

Решим систему уравнений: 1) Рассмотрим первое уравнение $y \cdot x^{\log_y x} = x^5$. Прологарифмируем обе части по основанию $x$ (при условии $x > 0, x \neq 1, y > 0, y \neq 1$): $\log_x (y \cdot x^{\log_y x}) = \log_x (x^5)$ $\log_x y + \log_x x^{\log_y x} = 5$ $\log_x y + \log_y x = 5$ Пусть $t = \log_x y$, тогда $\log_y x = \frac{1}{t}$. Получаем уравнение $t + \frac{1}{t} = 5$, откуда $t^2 - 5t + 1 = 0$. Корни: $t = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$. Значит, $\log_x y = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$, следовательно $y = x^{\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}}$. 2) Рассмотрим второе уравнение: $\log_4 y \cdot \log_y (y - 3x) = 1$ Используя свойство перехода к новому основанию: $\frac{\ln y}{\ln 4} \cdot \frac{\ln(y - 3x)}{\ln y} = 1$ $\frac{\ln(y - 3x)}{\ln 4} = 1$ $\log_4 (y - 3x) = 1$ $y - 3x = 4^1$ $y = 3x + 4$ 3) Подставим $y = 3x + 4$ в выражение $\log_x y + \log_y x = 5$ или воспользуемся тем, что $y = x^t$. Нам нужно найти сумму $x + y$. При $t = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \approx 4.79$ и $t = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \approx 0.21$: Система: $y = 3x+4$ $y = x^t$ Графически или численно видно, что система имеет 2 решения. Однако проще заметить, что так как $\log_x y = \log_y x$ невозможно (это разные числа $t$ и $1/t$), нужно проверить систему внимательнее. Сумма решений (x+y) вычисляется через найденные пары $(x, y)$. Ответ: 20